¿ISN ' t la segunda ley de la termodinámica a la ley de los grandes números en disfraz?

Question

A grandes rasgos,

• La segunda ley de la termodinámica (SLT) dice que, como un sistema cerrado evoluciona, su macrostate tiende hacia el uno con el mayor número posible de distinguir microstates.

• La ley de los grandes números (LLN) dice que, como el número de observaciones de una al azar evento aumenta, el promedio de los valores observados tiende hacia su valor esperado... que es, precisamente, $1/n$ de el valor que tiene el mayor número posible de formas en las que podría obtenerse a través de sumatoria de $n$ observaciones.¹

La forma en que lo veo, si te das cuenta de que la "evolución" (paso del tiempo, un concepto físico) es simplemente "tener más oportunidades para las observaciones" (la observación de un mayor número de muestras, un concepto matemático), entonces estas declaraciones están diciendo la misma cosa.

O, para decirlo de otra manera, el SLT es implícita por la LLN. O para ser completamente franco:
Es matemáticamente imposible para el 2^nd ley de la termodinámica no sostener.

Basado en esto, mis preguntas son:

1. Estoy en lo cierto en mi razonamiento/intuición aquí?

2. Si sí: ¿por Qué el 2^nd ley de la termodinámica considerado que es una ley de la física ? Comprobable declaraciones no son las leyes de la física (nadie llama el teorema de Pitágoras una ley de la física), entonces, ¿qué sentido tiene considerar a este como uno?

   Si no: ¿por Qué no?

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Editar:

Me acabo de acordar de que hay también el procesamiento de datos de la desigualdad (PPP), que establece que, si $X \to Y \to Z$ es una cadena de Markov (formalmente lo que significa que $X$ $Z$ son condicionalmente independientes dado $Y$, e informalmente, lo que significa que "$X$ sólo influye $Z$ a través de un intermedio $Y$")$H(Z \vert Y) \leq H(Z \vert X)$, lo que significa que el adicional de la entropía (el contenido de la información) de saber $Z$ es menor si ya sabemos $Y$ más que si sólo sabemos $X$. Me siento como este puede ayudar con la interpretación, pero no es del todo evidente para mí exactamente cómo.

_{¹ Para lo que vale, el asintótica equipartition propiedad (AEP) en la teoría de la información es el análogo de la LLN en ese campo, y dado que no aborda directamente la entropía como el SLT, podría tener más sentido para aquellos familiarizados con ella para usarla como punto de comparación, pero me centraré en la LLN aquí, ya que es más accesible (incluyendo a mí mismo!).}

Answer 1

Personalmente, estoy de acuerdo con usted en que SLT y LLN observar similitudes. Sin embargo, todavía hay diferencias entre ellos.

Como usted ha mencionado, LLN es un teorema. Ser un teorema de matemáticas, se requiere de condiciones rigurosas. En caso de que estas condiciones deben ser violados, el teorema de fallar. Aquí hay dos puntos cruciales que LLN preocupaciones.

(1) Para el fuerte o la versión débil, LLN se centra en una secuencia infinita de variables aleatorias $X_1$, $X_2$, ..., $X_n$, ... Sus sub-índices parecen jugar el papel de tiempo, es decir, $\left\{X_m\right\}_{m=1}^{\infty}$ puede ser considerado como un proceso estocástico. Sin embargo, este proceso toma tiempo discreto. Por el contrario, la evolución que SLT preocupaciones se acerca más a la de tiempo continuo de los discretos. (Que tal vez podría haber un paralelo LLN, por ejemplo, martingales con tiempo continuo, a lo mejor de mi conocimiento, no nos parece que haya tenido un teorema tan lejos.)

(2) LLN requiere que las variables aleatorias $X_1$, $X_2$, ..., $X_n$, ... son independientes e idénticamente distribuidas (i.yo.d.). Si consideramos que el $X_i$ como la observación de un sistema cerrado que usted toma en el tiempo $i$, este yo.yo.d. el requisito es que este sistema cerrado debe estar en su constante o estado estacionario (es decir, el sistema podría ser dinámico, pero la propia dinámica debe ser independiente del tiempo, como un flujo estacionario de fluidos). Por el contrario, SLT considera un rango mucho más amplio de posibilidades; se cree que incluso para evolutivo de los sistemas cerrados.

Volver a la SLT. Es justo decir que crece en algunos hechos demostrables (como la LLN analogía), y se generaliza a la no-casos probables. Matemáticamente, se puede expresar como que cualquier cerrado sistema evolutivo tiene asociado un valor real del estado de la función $S$ que los rendimientos de ${\rm d}S\ge 0$donde $S$ aquí es el bien conocido de la entropía. Se podía ver que la forma en que esta declaración va mucho se asemeja al Principio de la Relatividad. Tal vez esta es la razón por la SLT debe ser considerado como un derecho en lugar de un teorema. Su no-provability radica en que, mientras que se podría demostrar la existencia de $S$ para algunos especiales, sería imposible ir por encima de todas cerrado evolutivo de los sistemas.

Answer 2

1. Su razonamiento/intuición es parcialmente correcta...

   Si sí: ¿por Qué es la 2ª ley de la termodinámica considerado que es una ley de la física? Comprobable declaraciones no son las leyes de la física (nadie llama el teorema de Pitágoras una ley de la física), entonces, ¿qué sentido tiene considerar a este como uno?

El teorema de Pitágoras que mencionar es sólo un teorema matemático si los 'triángulos' y 'de largo' se refiere a que están definidas dentro de un determinado sistema abstracto de los axiomas. Si usted hace la afirmación de que la misma relación se mantiene para los triángulos dibujados en papel y se mide por una regla, entonces lo que tenemos es una ley de la física (y uno que sólo es aproximadamente correcta).

Del mismo modo, la segunda ley de la termodinámica, como una ley física, es algo que sólo puede ser analizada a través de la experimentación. Puede ser posible encontrar un determinado consistente modelo matemático del mundo físico en el que el segundo de la ley (como se define en el modelo) se puede quitar y, a continuación, derivada matemáticamente desde el resto de las definiciones y supuestos del modelo. Entonces se podría argumentar que la segunda ley es redundante dentro de ese modelo en un matemáticamente preciso sentido. Sin embargo, la segunda ley de la termodinámica seguiría siendo una buena perfecta ley de la física.

Si no: ¿por Qué no?

El problema es que no es claro que los modelos matemáticos que tenemos en que la segunda ley puede ser 'derivados' son lo suficientemente general bastante bien describir todos los posibles sistemas físicos. Personas que han trabajado en este supuesto, por ejemplo, fue la principal motivación para el desarrollo de ergodic theory: en el marco de la Hamiltoniana de la mecánica (por ejemplo) si usted puede demostrar que su Hamiltoniano tiene este 'ergodic' de la propiedad, entonces lo que sigue es algo así como la segunda ley tiene para el sistema. Problema: hay muchos sistemas físicos que no son bien descritos por ergodic dinámica Hamiltoniana.

Esto es donde el segundo problema con tu argumento. Con el fin de invocar la LLN reclama que el sistema físico debe ser bien descrito por un conjunto finito de microstates, con mediciones repetidas del sistema representado por un muestreo al azar de estos microstates. Esto funciona muy bien para algunos sistemas (de hecho es común a partir de la asunción en la mecánica estadística), pero no está claro por qué debe ser cierto para todos los sistemas.

Así como podemos decir, que la segunda ley de la termodinámica se aplica a todos los sistemas físicos. La parte difícil es que muestra que los modelos matemáticos en los que podemos 'derivar' algo así como la segunda ley de la cubierta de todas estas posibilidades.