He leído un buen número de puestos que se ocupan de este tema específico, pero ninguno de ellos parece responder a mi pregunta. Si esto es un repost, me disculpo.
Pues bien aquí está el problema, seguido por un teorema que yo uso, y luego mi intento de prueba:
Ejercicio 7.4.4. Mostrar que si $f(x)>0$ todos los $x\in [a,b]$ $f$ es integrable, entonces $\int_{a}^{b} f>0$.
El teorema (y ejercicio) es de Abbott del Entendimiento de Análisis, y mi prueba utiliza el Teorema 7.4.2(ii):
Teorema 7.4.2.(ii) Suponga $f$ es integrable en a $[a,b]$. Si $m\leq f(x)\leq M$ todos los $x\in [a,b]$ $$m(b-a)\leq\int_a^b f(x) \leq M(b-a)$$
Ahora, aquí está mi prueba:
Prueba. Deje $f(x)>0$ todos los $x\in [a,b]$ y asumen $f$ es integrable. Desde $f$ es integrable, entonces podemos permitir (pero, ¿podemos?)
$$m=\inf\{f(x_0):x_0 \in [a,b]\}\text{ and }M=\sup\{f(x_0):x_0\in [a,b]\}$$
Donde tanto $m$ $M$ son mayores de cero desde $f(x)>0$.
Ahora, por el Teorema 7.4.2.(ii), podemos escribir la $$m(b-a)\leq \int_{a}^{b} f\leq M(b-a)$$
Y desde $0<m(b-a)\leq M(b-a)$, entonces la integral debe ser mayor que cero así.
Q. E. D.
Me gustaría que algunos de comprobación/corrección. Mi duda es si o no los valores de $m$ $M$ necesariamente tienen que existir, ya que el Teorema 7.4.2.(ii) los estados que la desigualdad es cierto sólo SI existe tal valores de $m$$M$. Pero desde $f$ es integrable y $[a,b]$ es compacto, entonces la función debe alcanzar un máximo y un mínimo, ¿correcto?
