Pregunta sobre la irreductibilidad de $x^{nm}-a$ al $n$ $m$ son coprime

Question

Deje $F$ ser un campo y $a\in F$ y deje $m,n$ ser coprime enteros positivos tales que. A continuación, $x^{mn}−a$ es irreducible en a $F[x]$ si y sólo si ambas $x^m−a $ $x^n−a$ son irreducibles en $F[x]$. Se supone que esta es una Teoría de Galois cuestión sin embargo no veo cómo puedo usar la teoría de Galois para demostrar un resultado. Me refiero a todo lo que puedo decir es que es que la división de campo de la $x^{mn}-a$ $F(z_n,c)$ donde $z$ es una primitiva n-ésima raíz de la unidad y de la $c^n=a$ no tengo idea de cómo continuar a partir de ahí cualquier ayuda/solución será muy apreciada.

Gracias de antemano

Answer 1

Este es un ejercicio sobre la irreductibilidad, no en la división de los campos. Si $X^{mn}-a$ es irreducible sobre $F$, por lo que se $X^{m}-a$ $X^{n}-a$ porque $X^{mn}-a=(X^{m})^n-a=(X^{n})^m-a$.

Por el contrario, asumen $X^{m}-a$ $X^{n}-a$ irreductible $F$, y deje $\alpha$ ser una raíz de $X^{mn}-a$ en una clausura algebraica. A continuación, $\alpha^m$ es una raíz de $X^{n}-a$, por lo tanto $[F(\alpha ^m) :F]= n$, y de manera similar a $[F(\alpha ^n) :F]= m$. Si $m$ $n$ son coprime, un clásico resultado en la multiplicativity de grados en las torres asegura que $[F(\alpha ^m, \alpha ^n):F]= mn$. Pero por el teorema de Bezout, existen enteros $r, s$ s.t. $rm+sn=1$, por lo que el $\alpha = \alpha^{rm} \alpha^{sn}$, e $F(\alpha ^m, \alpha ^n)=F$. Por lo tanto el grado de $\alpha$$F$$mn$, e $X^{mn}-a$ debe ser irreductible $F$.