número extraño-teoría

Question

existen cinco diferentes tipos de número como $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\in\mathbb{N}$ que la suma de cada tres de ellos sea divisible por la suma de los otros dos?

Supongo que tengo que probar

$i<j \implies a_i<a_j$

$a_4+a_5\le a_1+a_2+a_3$ no es posible.

pero no sé cómo demostrarlo

Answer 1

Suponga que w.n.l.g. que $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$. Los dos más grandes representan más de la $2/5$ de la suma, por lo que los tres más pequeños de la cuenta por menos de $3/5$, y por lo $(a_1 + a_2 + a_3) / (a_4 + a_5) < 3/2$ y no puede ser cualquier número entero, además de a $1$. Es decir, $a_1+a_2+a_3 = a_4+a_5$. Ahora considere el $(a_1+a_2+a_4)/(a_3+a_5)$. Si esto es$1$,$a_3=a_4$, lo que no puede ser cierto. Así es, al menos,$2$: $a_1+a_2+a_4 \ge 2a_3 + 2a_5$. Ahora tenemos $$ -a_3+a_4 = a_1+a_2-a_5 > a_1+a_2-2a_5 \ge 2a_3 - a_4, $$ o $a_4 \ge (3/2)a_3$. Pero, a continuación,$a_4+a_5 > 2a_4 \ge 3a_3 > a_1+a_2+a_3$, lo que contradice la igualdad de $a_4+a_5=a_1+a_2+a_3$ que ya hemos demostrado.