Existen estudios en una función de clasificación en línea real?

Question

Vamos a asumir que tenemos una matriz de enteros $[3,4,1,0,7]$, podemos clasificarlas en $[0,1,3,4,7]$.

Hay una función de clasificación $S: \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}^k$ que tipo de entero en la matriz se define como el anterior.

Si vemos a una matriz de enteros como una función que asigna un conjunto de índices $\mathcal{I} \to \mathbb{N}$, quiero generalizar para el caso de que $\mathbb{N}$ es reemplazado por $[0,1]$ de una línea real.

En este continuum caso, existen estudios sobre la analógica a la función de clasificación $S$, pero en línea real en el sentido de que "ordena" una verdadera función con valores de $f(x)$ definido en $[0,1]$?

es decir, una función de $S': F[0,1] \to M[0,1]$, donde:

$\mathcal{F}[0,1]$ son todos de la función de $[0,1] \to [0,1]$,

$\mathcal{M}[0,1]$ son todos monótona creciente (no decreciente) la función de $[0,1] \to [0,1]$.

que de alguna manera conserva los valores de $f(x)$. No estoy seguro de cómo definir lo que se conserva precisamente ahora (supongo que debe estar relacionado con derivados), simplemente una idea extraña.

EDITAR seguido por David C. Ullrich la respuesta

Lo que si nos restringimos $\mathcal{F}[0,1]$ a de ser algún tipo de "agradable" de la función, tales como derivable en casi todas partes en $[0,1]$?

Answer 1

Bueno, primero tenemos que definir lo que significa "ordenar" una función de $f:[0,1]\to\Bbb R$. Dado lo que parece ser la definición natural (abajo) hay funciones que no pueden ser ordenados.

Definición Supongamos que $f:[0,1]\to\Bbb R$. Para ordenar $f$ es encontrar un bijection $\phi:[0,1]\to[0,1]$ tal que $g=f\circ\phi$ es no decreciente.

Deje $f$ ser la función característica de la irrationals en $[0,1]$. O si quieres un inyectiva ejemplo, para aclarar que romper los lazos no es el problema, definir $$f(t)=\begin{cases}t,&(t\in[0,1]\cap\Bbb Q), \\2+t,&(t\in[0,1]\setminus\Bbb Q).\end{casos}$$

A continuación, $f$ no se puede ordenar. Porque si usted puede ordenar $f$ $[0,1]=A\cup B$ donde $A$ es countably infinito y cada elemento de a $A$ es menos que cada elemento de a $B$; esto es imposible, ya que cada infinita segmento inicial de $[0,1]$ es incontable.

Edit: la Suavidad no ayuda. Simple ejemplo de lo anterior, también suave: Vamos a $f(t)=\sin(\pi t)$. Si $\phi$ es un bijection y $g=f\circ \phi$ $g^{-1}(1/2)$ contiene exactamente dos puntos, pero si $g$ es monótona y, a continuación, $g^{-1}(a)$ es un singleton o infinito.