¿Como el tema, cómo probar cada conectado espacio métrico con al menos dos puntos de incontable? Por supuesto sé que la definición que un sistema contable significa que existe una biyección entre el conjunto y el número entero positivo. Conectado se desconecta enfrente de donde el conjunto puede particionar en dos abiertos disjuntos.
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Vamos a tener otra prueba.
$X$ Tiene al menos dos elementos, nos dejan elegir $x_0,x_1\in X$, $x_0\neq x_1$. Definir $f:X\rightarrow [0,1]$ por f(x):=\frac{d(x,x_0)}{d(x,x_0)+d(x,x_1) $$}, x\in \text {para todos} x. $$ claramente, $f$ continuo y $$f(x_0)=0\text{ and }f(x_1)=1.$ $ $X$ está conectado y es la imagen continua del espacio conectado conectado (llamado Teorema del valor intermedio), él sigue eso $$ f (X) = [0,1], $$ que muestra que el $X$ es incontable porque $[0,1]$ es incontable. Esto demuestra el resultado.
DiGi
Puntos
1925
No sólo debe $X$ ser innumerables, su cardinalidad debe ser al menos $2^\omega=\mathfrak c$.
Que $\langle X,d\rangle$ ser una métrica del espacio y supongo que el $|X|<2^\omega$. Fijar $x,y\in X$ $x\ne y$ y que $r=d(x,y)>0$. Que $D=\big\{d(x,z):z\in X\big\}$; $|D|\le|X|<2^\omega=|(0,r)|$, por lo que es un número real $s\in(0,r)\setminus D$. Muestran que $B_d(x,s)$ es un subconjunto clopen de no vacío de $X$ cuyo complemento es no vacío y concluir que $X$ no está conectado.
