Deje $A$ ser un anillo conmutativo, $M_0 \subseteq M_i \subseteq M_{i+1} \subseteq \dots $ es un aumento de la cadena de $A-$módulos de e $M=\varinjlim M_i$. Asumir por parte de todos los $i$ hay una retracción $s_i:M_i \rightarrow M_0$ (puede no ser compatible con el aumento de la cadena), no siempre existe una retracción $s:M \rightarrow M_0$?
Respuestas
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No, no necesariamente. Por ejemplo, supongamos $A=\mathbb{Z}$. Desde $\mathbb{Q}$ no es proyectiva como un $A$-módulo, hay algunos cortos de la secuencia exacta $$0\to K\to M\stackrel{p}{\to}\mathbb{Q}\to 0$$ that does not split (explicitly, you could take $M$ to be any free module with a surjection to $\mathbb{Q}$). Now let $M_i=p^{-1}(\frac{1}{i!}\mathbb{Z})\subconjunto de M$. Then for each $i$, our short exact sequence restricts to a short exact sequence $$0\to K\to M_i\to \frac{1}{i!}\mathbb{Z}\to 0$$ which splits since $\frac{1}{i!}\mathbb{Z}$ is free. This means that the inclusion $K\a M_i$ has a retraction for all $i$, but the colimit $K\a M$ no.
Más generalmente, usted puede conseguir un ejemplo similar de cualquier no-módulo proyectivo que es la unión de una secuencia ascendente de proyectiva submódulos.
Pavel Čoupek
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Si hubo una retracción $s:M\rightarrow M_0$, la composición con la canónica de morfismos $\nu_i: M_i \rightarrow M$ da un sistema de tiraje $s_i:M_i \rightarrow M_0$ que es compatible con el sistema directo en el sentido de que $s_{i+1}\iota_i=s_i,$ donde $\iota_i: M_i \rightarrow M_{i+1}$ son las inclusiones del sistema directo. Por lo tanto, para refutar la reclamación es suficiente para encontrar un sistema directo que permite retracciones, mientras que no permite un sistema compatible de las retracciones.
Tratemos de cocinar algunos ejemplo de esto, donde $M_i$ es el libre Abelian grupo de clasificación $2$ todos los $i >0$, e $M_0=\mathbb{Z}$. Por la elección de las coordenadas en la $M_i$'s adecuadamente, podemos asumir que el inlusions $M_0 \subseteq M_i$ procede directamente del sistema son de la forma $$\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z},\;\; k \mapsto \begin{pmatrix}0 \\ k\end{pmatrix}.$$
Luego una retracción para cualquier $M_i \rightarrow M_0$ es necesariamente de la forma $$\begin{pmatrix}k_i & 1\end{pmatrix}: \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z},$$ las inclusiones $\iota_i: M_i \rightarrow M_{i+1}$ son necesariamente de la forma $$\begin{pmatrix}m_i & 0 \\ n_i & 1\end{pmatrix}:\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$$ (este formulario se nos impone por la condición $A \cdot\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$), y también podemos comprobar fácilmente que un mapa es inyectiva cuando $m_i \neq 0$.
Hasta el momento, la situación era completamente general, es decir, no tomamos ninguna decisión real (sólo hemos considerado convenientemente elegido coordenadas). Vamos ahora a establecer $m_i=n_i=3$ todos los $i>0$, es decir, considerar un sistema donde todos los mapas $\iota_i$, con la de coordinar la elección que hemos hecho, de la forma $$\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}:\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}, \;\; \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}3a\\ 3a +b\end{pmatrix}.$$ Después de tener un sistema compatible de tiraje $$M_i \rightarrow M_0$$ is to have $k_i$ satisfactoria $$k_{i}=3k_{i+1}+3,\; \text{ i.e. }\;k_{i+1}=\frac{k_i}{3}-1$$
Ahora podemos fácilmente comprobar que dicha colección de $k_i's$ no existen: El último de la recurrencia de la relación permite de forma explícita $$k_{i+1}=\left(\frac{1}{3}\right)^i(k_1+\frac{3}{2})-\frac{3}{2},$$ y uno puede fácilmente comprobar que, independientemente de $k_1 \in \mathbb{Z}$, $k_{i+1}$ no es un número entero para suficientemente grande $i$.
En conjunto, este sistema no permite un sistema compatible de tiraje, por lo tanto no hay retracción de a $M_0$ en el límite.
