Deje $S$ ser el conjunto de todos los pares ordenados en el plano cartesiano. Que es: $$S=\{(x,y)|\ \ x, y \in \Bbb{R}\}$$ Entonces, Si $a=(a_1, a_2)$ $b=(b_1, b_2)$ son dos arbitraria de elementos de $S$, las siguientes operaciones se definen: $$a+b=(a_1+b_1, a_2+b_2)$$ $$a\times b=(a_1\cdot b_1, a_2 \cdot b_2)$$
También, vamos que $a=b$ iif $a_1=b_1$$a_2=b_2$. Asociatividad y conmutatividad de las operaciones son rectas hacia adelante para demostrar. El elemento neutro multiplicativo es $u=(1,1)$ y el elemento neutro aditivo es $o=(0,0)$. Es trivial demostrar por qué estos dos elementos son los respectivos neutral elementos.
Ahora, en inversos aditivos. Por lo arbitrario $a\in S$, podemos tomar $-a=(-a_1, -a_2)$, por lo tanto:
$$a+(-a)=(a_1+(-a_1), a_2+(-a_2))=(0,0)=o$$
Esto demuestra que hay inversos aditivos.
En los inversos multiplicativos, consideremos $b\neq o$, entonces si tomamos $b^{-1}=(\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2})$, entonces:
$$b\times b^{-1}=\bigg(b_1\cdot\frac{1}{b_1}, b_2\cdot \frac{1}{b_2}\bigg)=(1,1)=u$$ lo que muestra la existencia de inversos multiplicativos.
Por último, la propiedad distributiva: Deje $c=(c_1, c_2)$ un elemento de $S$. Entonces:
$a\times (b+c)=(a_1,a_2)\times (b_1+c_1, b_2+c_2)=(a_1b_1+a_1c_1, a_2b_2+a_2c_2)$
Por otro lado,
$a\times b+ a\times c =(a_1b_1, a_2b_2)+(a_1c_1, a_2c_2)=(a_1b_1+a_1c_1, a_2b_2+a_2c_2)$. Lo que significa que $a\times(b+c)=a\times b+a\times c$.
¿Me equivoco o no se dan cuenta de algo? Por otro lado, me gustaría un poco de ayuda con la escritura o el estilo.
