Este polinomio tiene un coeficiente entero

Question

En otra pregunta, alguien discutió sobre el hecho de que, si $p_1,\ldots,p_n$ es una lista de enteros, entonces el polinomio $$f=\prod_{e_1,\ldots,e_n\in\{\pm1\}}(x+e_1\sqrt{p_1}+\cdots+e_n\sqrt{p_n})$$ tiene un coeficiente entero. ¿Puede alguien explicarme mejor esto?

edit: el enlace de la pregunta anterior es Polinomio mínimo de $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ y tienes que hacer un factor múltiple para cada posible elección de $e_1,\ldots,e_n\in\{\pm1\}$

Answer 1

Pista: por inducción, usando nada más que la identidad $\,(a+b)(a-b)=a^2-b^2\,$ :

$$\prod_{e_1,\ldots,e_n\in\pm1}(x+e_1\sqrt{p_1}+\cdots+e_n\sqrt{p_n}) = \prod_{e_1,\ldots,e_{\color{red}{n-1}}\in\pm1} \big((x+e_1\sqrt{p_1}+\cdots+e_{n-1}\sqrt{p_{n-1}}+\sqrt{p_n})(x+e_1\sqrt{p_1}+\cdots+e_{n-1}\sqrt{p_{n-1}}-\sqrt{p_n})\big) = \prod_{e_1,\ldots,e_{n-1}\in\pm1} \big((x+e_1\sqrt{p_1}+\cdots+e_{n-1}\sqrt{p_{n-1}})^2 - p_n\big)$$

Repite lo mismo para demostrar que la base del término cuadrado tiene coeficientes enteros.

Answer 2

El polinomio $$p(x,y_1,y_2,...,y_n)=\prod_{e_i\in\{\pm1\}}(x+e_1y_1+...+e_ny_n)$$

satisface $p(x,y_1,...,y_n)=p(x,e_1y_1,...,e_ny_n)$ para todos $e_i\in\{\pm1\}$ .

Por lo tanto, $$p(x,y_1,...,y_n)=\frac{1}{2}\left(p(x,y_1,...,y_i,...,y_n)+p(x,y_1,...,-y_i,...,y_n)\right)$$

no tiene términos en los que $y_i$ aparece a las potencias de impar, ya que en el lado derecho se anulan todos esos términos.

Los coeficientes de $P(x)=p(x,y_1,...,y_n)$ son polinomios en $y_1,...,y_n$ con coeficientes enteros. Esto se desprende de la definición de $p$ ya que los coeficientes son sólo sumas y productos de $\pm y_i$ .

Por lo tanto, $f(x)=p(x,\sqrt{p_1},...,\sqrt{p_n})$ tiene coeficientes enteros.

Answer 3

Supongo que la pregunta es: dejemos $f\in \mathbb{Q}[x]$ tal que $f$ tiene la factorización dada en $\mathbb{C}[x]$ . Demostrar que $f\in \mathbb{Z}[x]$ . O tal vez esté considerando el producto por encima de todas las señales posibles, que estará en $\mathbb{Q}[x]$ (explicado en los comentarios). En cualquier caso, se puede argumentar lo siguiente:

Las raíces de $f$ que son aquellas combinaciones lineales de raíces cuadradas (más menos) de primos, son elementos integrales sobre $\mathbb{Z}$ porque una suma de elementos integrales es integral. Puedes suponer que tu polinomio $f$ es irreducible (si no lo es, dividirlo en factores irreducibles y argumentar lo mismo para cada uno de ellos). Pero entonces, estás buscando el polinomio mínimo de esos elementos integrales. Por definición, este polinomio mínimo debe tener coeficientes en $\mathbb{Z}$ .