Dividir el triángulo equilátero con la curva más corta

Question

Un colega me acaba de contar este divertido problema de optimización:

Dado un triángulo equilátero, córtalo en dos trozos del mismo tamaño con una curva de longitud mínima.

Sólo quiero alguna idea o pista que me ayude a resolver esto. Estoy pensando que esto debe estar relacionado con los arcos de círculo, por ejemplo, he calculado que la longitud del arco de círculo (centrado en un vértice) es más corto que simplemente cortar en línea recta a través de ese vértice.

Cualquier referencia o pista, o solución inteligente será apreciada.

Answer 1

He aquí algunas pistas para empujarle en la dirección de una solución inteligente:

Suponga que tiene una curva de este tipo, y que va de un borde a otro. Dispón seis copias de triángulos equiláteros que se crucen en un punto, y dibuja esta curva en un triángulo, reflejada en el siguiente y así sucesivamente. Se obtiene así una curva cerrada que encierra un área fija (concretamente tres veces el área de un solo triángulo). ¿Qué podemos concluir sobre la longitud de esta curva cerrada?

Del mismo modo, ¿qué ocurre si la curva comienza en una arista y sale por la misma arista?