Supongamos que tenemos una acción de grupo finito $G$ en un conjunto finito $X={ x_1, ..., x_n }$. Entonces podemos tomar el Grupo abeliano libre generado por elementos de $X$ (que es naturalmente isomorfo a $\mathbb{Z}^n$) y obtener una acción inducida de $G$.
Mi pregunta es si es posible tener dos acciones de #% no-isomorfo $G$% #% que inducen acciones isomorfas en $X$.
¡Gracias!
Hay bastante ejemplos generales debido a Conlon en el papel:
Conlon, S. B., Monomio representaciones bajo integral de similitud, J. Álgebra 13, 496-508 (1969). ZBL0185.06702.
Incluso hay una transitiva ejemplo, debido a Scott:
Scott, Leonard L., Integral equivalencia de permutación de las representaciones, Sehgal, Surinder (ed.) et al., Grupo de teoría. Actas de la 21 ª bienal Estatal de Ohio-Denison matemática de la conferencia, Granville, OH (EEUU), 14 a 16 de Mayo de 1992. Singapur: Mundo Científico. 262-274 (1993). ZBL0828.20004.
En este ejemplo, $G$ $\text{PSL}(2,29)$ y la permutación de las acciones están en el cosets de dos no conjugada subgrupos tanto isomorfo a la alternancia de grupo $A_5$.
Podría ser una respuesta parcial.
Reclamo: Si $G$ tiene un nonisomorphic dos acciones con nonequal número de órbitas, a continuación, la inducida por acciones en $\mathbb Z^n$ son también nonisomorphic.
Deje $W=\{v\in\mathbb Z^n\mid gv=v \}$. Claramente $W$ $G$- submódulo de $V$.
Subclaim: $dim(W)$ es igual al número de las órbitas de $G$$X$. (Podemos hablar de dimenssion de $W$ $\mathbb Z$ es un PID. Yo no escribo la prueba de esta afirmación como creo que va a ser de rutina, como en el caso de $\mathbb C^n$ )
Desde la dimensión de $W$ es invariante, dos inducida por acciones en $\mathbb Z^n$ son también nonisomorphic.
Por lo tanto, si existe un ejemplo, el número de las órbitas debe ser el mismo.
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