Una congruencia que involucran polinomios de Fibonacci

Question

Puede usted dar una prueba o un contraejemplo a la siguiente afirmación :

Deje $n$ ser un número natural mayor que uno y que $ F_{n}(x)$ de Fibonacci del polinomio , entonces $n$ es primo si y sólo si : $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}F_{n}(k) \equiv -1 \pmod n$ .

Puede ejecutar esta prueba aquí .

Answer 1

Una dirección, demostrando $\sum_{k} F_p(k)\equiv -1\pmod{p}$ cuando $p$ prime, es fácil.

Que $\sigmai=\sum{k=0}^{p-1}k^i$ y $f_{i}$ sea el coeficiente de $x^i$ $Fp(x)$. Entonces $\sum{k} F_p(k)\equiv \sumi f{i}\sigma_i$. Usted puede mostrar $\sigmai\equiv0$ % todo $i=0,1,\dots,p-2$, $\sigma{p-1}\equiv-1$. Puesto que el coeficiente de $x^{p-1}$ $F_{p}(x)$ es $1$, el resultado sigue.