Una paradoja matemática sobre las probabilidades

Question

Así que - no soy un genio de las matemáticas pero tengo pensamientos de ducha. Y hay un pensamiento sobre la distribución normal que no podía dejar pasar. Lo he convertido en una pequeña historia para visualizarlo un poco mejor. Veamos si tiene sentido y si realmente es una paradoja que se me ocurrió. Esta es la historia:

Un hombre está en el tribunal. Se dice que ha asesinado a alguien. Hay pruebas que demuestran que lo hizo, pero lo más probable es que todo sea una coincidencia. El juez propone una solución sencilla: "Mañana a las 8 de la mañana en la plaza del mercado - usted va a lanzar una moneda. Si sale cara, saldrá tu cabeza; si sale cruz, te irás a casa como un hombre libre. Que los dioses decidan si vas a morir o no".

El hombre acepta de buen grado esta oferta. Debe saber que, aunque sea en la Edad Media, es un matemático que no cree en los dioses. Y también conoce las probabilidades y cree que tiene una manera de manipularlas.

El hombre se lleva a casa la moneda que decide el destino y empieza a lanzarla toda la noche.

Llega la mañana y todos esperan en la plaza del mercado. Son las 8 de la mañana en punto y el hombre, tal y como había prometido, aparece con su moneda en la mano. Está muy confiado, porque sabe que sus posibilidades de morir son del 0,1%. Delante de todo el mundo, lanza la moneda y: cruz. Entonces el hombre es libre de irse. No está ni un poco nervioso por su destino.

¿Cómo fue posible? Debía saber que sus posibilidades eran de 50 a 50 (suponiendo que la moneda no puede caer sobre su borde y que siempre se lanzará y tirará al azar).

Bueno, esto es lo que no puedo explicar:

Anoche, el hombre estaba en casa -como dije- lanzando su moneda una y otra vez. Como se trata de una distribución normal, en los primeros 10 lanzamientos, la moneda mostró cara 5 veces, y cola 5 veces. Pero, después de muchos, muchos lanzamientos - la moneda finalmente mostró cara 9 veces seguidas. Este suceso tiene una probabilidad del 0,2% (según uno de esos diagramas de árbol). Ahora bien, para la décima vez, las probabilidades de que salga cara de nuevo serían sólo del 0,1%, si no me equivoco. Ahora - en mis ojos: Todo lo que el hombre tenía que hacer era NO lanzar esa moneda de nuevo hasta que su destino estuviera a punto de decidirse - porque ¿cara de nuevo? Eso sería insanamente improbable - ¿no es así?

Esa es mi paradoja. No se puede manipular el lanzamiento de una moneda al azar sólo esperando que sea improbable que muestre un determinado resultado una y otra vez, ¿o sí?

Gracias por leer mi pequeña historia :) Espero que entiendan lo que estoy tratando de transmitir aquí :)

Answer 1

Algo en lo que pensar:

Como los lanzamientos de la moneda son independientes, y suponiendo que la moneda es justa, la probabilidad de que diez lanzamientos salgan cara es:

$$P(H)\cdot P(H)\cdot P(H)\cdot P(H)\cdot P(H)\cdot P(H)\cdot P(H)\cdot P(H) \cdot P(H)\cdot P(H)=(0.5)^{10}$$

La probabilidad de que nueve monedas salgan cara y la décima salga cruz es:

$$P(H)\cdot P(H)\cdot P(H)\cdot P(H)\cdot P(H)\cdot P(H)\cdot P(H)\cdot P(H) \cdot P(H)\cdot P(T)=(0.5)^{10}$$

Las probabilidades son las mismas. Así que tenía las mismas probabilidades de morir o no morir.

Answer 2

Todas las respuestas proporcionadas explican por qué no hay "paradoja". Me gustaría ofrecerle una respuesta más intuitiva (espero) que formal.

Su pregunta es un buen ejemplo de lo que se conoce como "falacia del jugador" (véase Croson y Sundali (2005)). La falacia se produce cuando se asume erróneamente que un cubo del que se hace un sorteo es finito. En su ejemplo, piense que tener una cabeza es sacar una bola azul de un cubo y tener una cola es sacar una bola roja del mismo cubo, y el cubo contiene contablemente infinito bolas la mitad de las cuales son azules y la otra mitad rojas. Observa que si dibujas $9$ bolas azules de la papelera en una fila, la probabilidad de sacar otra bola sigue siendo $\frac{1}{2}$ ya que aún quedan infinitas bolas azules. esto es cierto incluso si se saca $1000$ bolas azules (de hecho, cualquier número finito de bolas) del contenedor en una fila -- lo que significa que la probabilidad de que $1001$ la bola es azul es todavía $\frac{1}{2}$ . Este es el caso del lanzamiento de la moneda: aunque salga cara $1000$ veces seguidas, la probabilidad de que salga una cabeza en $1001$ La primera vuelta es $\frac{1}{2}$ . La razón por la que crees que tienes una paradoja es que estás asumiendo erróneamente que estás sacando bolas de algún recipiente que contiene un número finito de bolas.

Answer 3

Las respuestas dadas hasta ahora son todas teóricas. Seamos prácticos.

Ejercicio nº 1:

Ve a buscar una moneda ahora mismo, y un trozo de papel.

Lanza la moneda hasta que salga cara tres veces seguidas. Ahora, si la teoría del hombre es correcta, debería ser más probable que el siguiente lanzamiento sea cruz. Lanza la moneda una vez más y anota el resultado.

Repite este ejercicio tantas veces como sea necesario para convencerte de que después de tres caras seguidas, las posibilidades de obtener caras siguen siendo $50-50$ . Sólo debería llevarle unos minutos.

Ejercicio nº 2:

Ve al banco y coge diez dólares en monedas. Eso es $1000$ monedas de un centavo. (O, cualquiera que sea la moneda más barata en el país donde vives.) De nuevo, coge un papel, y dos tarros grandes.

Coloca los centavos en el primer frasco grande, agítalos y viértelos. Coge todos los céntimos que hayan salido "cara" y vuélvelos a poner en el primer tarro; pon las colas en el segundo tarro. Debería haber unos $500$ en cada uno.

Ahora hazlo de nuevo, pero sólo voltea los que salieron cara. De nuevo, separa las cabezas de las colas. Ahora debería haber alrededor de $250$ monedas que han salido cara dos veces, y $750$ que salieron cruz al menos una vez.

Hazlo de nuevo. Sigue haciéndolo hasta que no tengas ninguna moneda en el tarro de las cabezas, o hasta que tengas un grupo de monedas que fueron lanzadas y salieron caras nueve veces seguidas. Si no te queda ninguna, vuelve a empezar.

Bien, ahora tienes al menos una moneda que ha salido cara nueve veces seguidas. Lánzala y anota los resultados. Según la teoría del hombre, esa moneda casi nunca debería salir cara. ¿Qué pasa en la realidad?

De nuevo, repita el experimento hasta que tenga pruebas convincentes de que las monedas no recuerdan lo que les ocurrió en el pasado .

Answer 4

Dejemos que $E$ sea el caso de que las nueve primeras tiradas sean todas caras y $F$ es el caso de que las diez primeras tiradas sean todas caras. La probabilidad de obtener diez cabezas conservadoras en diez tiradas es pequeña. $P(F) =(0.5)^{10}$ . Pero ahora se da que las nueve primeras tiradas son todas caras. Por lo tanto, la probabilidad de que la décima tirada sea también cara debe ser

$$P(F|E) =\frac{P(F\cap E)} {P(E)} =\frac{0.5^{10}}{0.5^9}=0.5$$

Answer 5

La probabilidad de que una moneda justa salga cara, dado que ya ha salido cara nueve veces consecutivas, es la mitad. Seguiría siendo la mitad cualquiera que sea la historia de la forma en que salió antes. Este hecho es completamente consistente con que la probabilidad de que salga cara en los próximos diez lanzamientos sea $2^{-10}$ .