Generar el más pequeño $\sigma$ -que contiene una familia de conjuntos dada

Question

Mi profesor me dio un ejemplo de realización de la asignatura:

Ejemplo

Dejemos que $\Omega = \Bbb R$ y $\mathcal R = \{(-\infty,-1),(1,+\infty)\}$ . Entonces $\sigma(\mathcal R) = \{\emptyset, \Bbb R, (-\infty,-1), (1,+\infty), [-1, \infty), (-\infty,1], (-\infty,-1)\cup(1,+\infty),[-1,1]\}$ .

Hubo un ejemplo diferente, en el que también generó la menor $\sigma$ -para la familia de conjuntos $\mathcal A = \{A,B\} \subset 2^\Omega$ de la misma manera: $\sigma(\mathcal R) = \{\emptyset, \Omega, A, B, A^C,B^C,A\cup B, (A\cup B)^C\}$ .

Ciertamente entiendo por qué $\emptyset$ , $\Omega $ y una familia de conjuntos en sí están allí, y ciertamente sé que $\sigma$ -es cerrada bajo las operaciones de complemento y unión. Lo que no entiendo de los otros elementos de la $\sigma$ -algebras: ¿por qué las tomamos exactamente? ¿Funciona esto en un caso general?

Answer 1

Se empieza con un conjunto de conjuntos, en su ejemplo, $\{A,B\}$ . Para obtener el menor $\sigma$ -que la contiene, todo lo que hay que hacer es añadir los conjuntos que faltan para que sea una $\sigma$ -(en lugar de ser sólo un conjunto).

Lo que esto significa es que se quieren sumar todos los conjuntos de manera que el conjunto resultante sea cerrado respecto a la toma de complementos y la unión. Para hacer $\{A,B\}$ cerrado con respecto a la toma de complementos hay que añadir $A^c, B^c$ . Para que sea cerrado con respecto a la unión hay que añadir $A \cup B$ . Ahora has añadido nuevos elementos y de nuevo necesitas añadir todos los elementos para que el nuevo conjunto de conjuntos sea cerrado bajo complemento y unión. Por lo tanto, hay que añadir $A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$ y $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ . A continuación hay que añadir $A \cap B$ (para que sea cerrado con respecto a los complementos).

Hasta ahora hemos $ \{ A, B, A^c , B^c, A \cup B, (A \cup B)^c, A^c \cup B^c , A \cap B \}$ . ¿Es necesario añadir más juegos? ¿O este conjunto constituye un $\sigma$ -¿Álgebra?

Answer 2

Esta es una receta sencilla para encontrar el $\sigma$ -generada por una familia finita $\mathcal{F}$ de subconjuntos de un conjunto $\Omega$ : Para cada $\omega\in \Omega$ , dejemos que $$A(\omega)=\bigcap\Big\{A\ni\omega:A\in\mathcal{F}\text{ or } A^C\in\mathcal{F}\Big\}$$ sea el átomo que contiene $\omega$ . Entonces el $\sigma$ -generada por $\mathcal{F}$ consiste en todas las uniones finitas de conjuntos de la forma $A(\omega)$ . Tenga en cuenta que $\emptyset$ es la unión de un número finito de conjuntos de este tipo ( $0$ muchos, para ser exactos).

Justificación: Claramente, todas estas uniones finitas deben estar en el $\sigma$ -generada por el álgebra. Por otra parte, el $A(\omega)$ forman una partición finita de $\Omega$ por lo que el conjunto de uniones finitas forma un $\sigma$ -Álgebra. Es fácil ver que cada $F\in\mathcal{F}$ tiene la forma $\bigcup_{\omega\in F} A(\omega)$ una unión de conjuntos finitos.

En general, no hay una receta fácil para anotar las $\sigma$ -álgebra cuando $\mathcal{F}$ es infinito. Existe una construcción basada en la recursión transfinita en $\omega_1$ muchos pasos, pero eso es mucho más sofisticado.

Answer 3

El sigma debe contener $\varnothing$ , $\Omega$ , $A$ y $B$ . Dado que un álgebra sigma es cerrada bajo uniones y complementos contables, debe contener $A \cup B$ , $A^{C}$ y $B^{C}$ Dado que un álgebra sigma es cerrada bajo complementos, debe contener $(A^{C} \cup B^{C})^{C} = A \cap B$ . Una construcción más general de un álgebra sigma a partir de $\mathcal{A} \subseteq 2^{X}$ es lo siguiente:

La construcción se realiza en etapas indexadas por los ordinales.

Escenario $0$ . $\sigma_{0} = \mathcal{A} \cup \{ \varnothing, X\} $ .

Escenario $\alpha + 1$ . Suponemos que hemos definido $\sigma_{\alpha}$ . Entonces $\sigma_{\alpha + 1} = \sigma_{\alpha} \cup \{ \cup f(i)\colon f: \mathbb{N} \rightarrow \sigma_{\alpha} \} \cup \{ X \smallsetminus \cup f(i)\colon f: \mathbb{N} \rightarrow \sigma_{\alpha} \}$ .

Escenario $\lambda$ . Aquí $\lambda$ es un ordinal límite. Suponemos que hemos definido $\sigma_{\alpha}$ para todos $\alpha < \lambda$ . El $\sigma_{\lambda} = \cup \{ \sigma_{\alpha} \colon \alpha < \lambda \} $ .

Este paso podría requerir el axioma de elección. Con esta construcción $\sigma_{\aleph_{1}}$ es el álgebra sigma más pequeña que contiene $\mathcal{A}$ . Escenario $\alpha + 1$ garantiza que si algo está en la colección su complemento también está en la colección. Supongamos que el para cada $i \in \mathbb{N}$ tenemos $A_{i} \in \sigma_{\aleph_{1}}$ . Para cada $i \ in \mathbb{N}$ existe un mínimo contable $\alpha_{i}$ con $A_{i} \in \sigma_{i}$ . Posiblemente usando el axioma de elección hay un ordinal contable $\alpha^{*}$ mayor que cualquiera de los $\alpha_{i}$ . Tendremos ambos $\cup \{A_{i} \colon i \in \mathbb{N} \} \in \sigma_{\alpha^{*}}$ y $X \smallsetminus \cup \{A_{i} \colon i \in \mathbb{N} \} \in \sigma_{\alpha^{*}}$ .