Una de tus preguntas es "¿Cuándo puedo sustituir la variable límite?", lo que entiendo como
"¿Cuándo es $$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)?”$$
Una condición suficiente para que esto funcione es que $f$ debe ser continua en $a$ . (De hecho, esta es la definición de lo que significa que una función sea continua en $a$ !) Esto no responde inmediatamente a la pregunta, porque la continuidad puede ser muy complicada. Sin embargo, las siguientes reglas cubren un gran número de situaciones:
- Funciones constantes $x\mapsto c$ son continuas en todas partes (" $x\mapsto c$ " significa "la función que toma $x$ y lo asigna a $c$ ".)
- La función de identidad $x\mapsto x$ es continua en todas partes
- Las funciones de suma y multiplicación $(x,y)\mapsto x+y$ y $(x,y)\mapsto xy$ son continuas en todas partes
- La función de división $(x,y)\mapsto \frac xy$ es continua excepto cuando el denominador $y$ es $0$
- La función exponencial $x\mapsto e^x$ es continua en todas partes
- Las composiciones de funciones continuas son continuas
Aquí tenemos la función $x\mapsto \frac x{e^x}$ . La función $x\mapsto x$ es continua por (2). La función $x\mapsto e^x$ es continua por (5). El cociente de éstas será continuo por (6) y (5), excepto cuando el denominador $e^x$ es $0$ -pero nunca lo es. Así que $x\mapsto\frac x{e^x}$ es continua en todas partes.
El resultado de todo esto es que $$\lim_{x\to a} \frac x{e^x} = \frac a{e^a}$$ para todo $a$ y, en particular, para $a=0$ .
Para considerar el contraejemplo más sencillo posible, tomemos $x\mapsto \frac1x$ . Esto es continuo en todas partes, excepto posiblemente en $x=0$ y, de hecho, tenemos $\lim_{x\to a}\frac1x = \frac 1a$ para todos $a\ne 0$ . Para $a=0$ no hay límite.
Un contraejemplo más interesante es $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ . De nuevo, tenemos $\lim_{x\to a}\frac{\sin x}{x} = \frac{\sin a}{a}$ para todos $a\ne 0$ . Para $a=0$ tenemos el hecho interesante y no trivial de que $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ .
