La resolución de la clásica paramétrico de la selección de cartera problema de una manera eficiente

Question

Mi pregunta está relacionada con el problema fundamental de la selección de cartera, pero estoy publicando aquí ya, en esencia, la pregunta es, realmente, de optimización matemática. Si, sin embargo, no estoy correcto voy a mover, por ejemplo, en finanzas cuantitativas.

Considere el siguiente escenario: usted tiene variables aleatorias $r_1, \ldots, r_n$, lo que representa tasas de rentabilidad de algunos activos financieros. Deje que sus medios se $$ E_s = (E(r_1) , \ldots, E(r_n) )^t $$ y la matriz de covarianza entre las variables ser $C$. Una cartera es cualquier combinación lineal $\omega_1 r_1 + \ldots \omega_n r_n = \omega^tr$ de los activos. Ahora, considere el principal problema de optimización para la construcción de una cartera (que se denota por a $(r)$ ) con una tasa de retorno $r \in \mathbb{R}$ y una mínima varianza, es decir, $$ (r)\qquad \begin{aligned} & \underset{\omega\, \in\, \mathbb{R}^n}{\text{minimize}} & & \omega^tC\omega \\ & \text{subject to} & & \omega^t 1_n = 1, \\ & & & \omega^t E_S = r. \; \end{aligned} $$ donde $1_n = (1, \ldots, 1)^t$ $n$- tupla de. Tenga en cuenta que no hay restricciones para la positividad de los pesos (el financiero, la interpretación de los posibles signos negativos es "venta en corto"). El problema señalado es en realidad acerca de la optimización paramétrica. En el curso de la Selección de Cartera y Gestión del Riesgo en coursera (me une a la conferencia particular) el profesor explica que, para encontrar las soluciones para todos los $r \in \mathbb{R}$ es suficiente para resolver sólo dos problemas:

$$ (1) \qquad \begin{array}{cc} \begin{aligned} & \underset{\omega\, \in\, \mathbb{R}^n}{\text{minimize}} & & \omega^tC\omega \\ & \text{subject to} & & \omega^t 1_n = 1.\; \end{aligned} & \qquad \qquad (2) \qquad \begin{aligned} & \underset{\omega\, \in\, \mathbb{R}^n}{\text{maximize}} & & \dfrac{\omega^t E_s - r_f}{\sqrt{\omega^t C\omega}} \\ & \text{subject to} & & \omega^t 1_n = 1. \; \end{aligned} \end{array} $$ y entonces, si su solución óptima se $\omega_1^*$$\omega_2^*$, entonces todas las soluciones de $(r)$ pueden ser producidos por las combinaciones lineales $$ (*)\qquad \omega_{\lambda} = \lambda\omega_1^* + (1-\lambda)\omega_2^*, \quad \lambda \in \mathbb{R}. $$ / * $r_f$ Es alguna constante positiva, lo que representa la tasa libre de riesgo de retorno */

Gráficamente, en la desviación estándar esperada de retorno de espacio que tenemos en la siguiente imagen:

De hecho, el problema de $(1)$ se obtiene una relajación de la restricción $\omega^t E_s = r$$(r)$. Sobre el problema (2), el objetivo de la función es el llamado ratio de Sharpe, la minimización de que geométricamente es todo acerca de cómo minimizar el ángulo entre la línea roja y la $O\sigma$ eje. Las dos soluciones son representados con un color negro y rojo puntos.

Por último, he aquí mis preguntas:

1. ¿Por qué el conjunto de soluciones óptimas del problema paramétrico $(r)$ obtenerse mediante combinaciones lineales de las soluciones óptimas de $(1)$$(2)$?

*Para mí es evidente que las limitaciones que se conservan bajo $(*)$ pero, ¿por qué $\omega_\lambda$ es óptima para el problema de $(\lambda E(r_1^*) + (1-\lambda)E(r_2^*))$, es decir,

$$ \begin{aligned} & \underset{\omega\, \in\, \mathbb{R}^n}{\text{minimize}} & & \omega^tC\omega \\ & \text{subject to} & & \omega^t 1_n = 1, \\ & & & \omega^t E_S = \lambda E(r_1^*) + (1-\lambda)E(r_2^*)? \; \end{aligned} $$

2. Cómo es realmente el problema de $(2)$ un caso especial del problema $(r)$?

Aquí me gustaría algún rigor.

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Crédito de la gráfica: https://people.ucsc.edu/~ealdrich/Teaching/Econ133/LectureNotes/multiAssetOpt.html.

Answer 1

Para resolver el problema de selección de cartera de $(r)$, en primer lugar hemos de instalación de la Lagrangiana como $$L^{(r)} = \frac12w^tCw$ -\rho_1(w^t1_n-1) - \rho_2(w^tE_S-r).$$ El primer fin de la condición de rendimientos $$0 = \frac{\partial L^{(r)}}{\partial w} = Cw-\rho_11_n-\rho_2E_S.$$ Thus we have $$w = \rho_1C^{-1}1_n + \rho_2C^{-1}E_S.$$ In other words, $w$ is a linear combination of $C^{-1}1_n$ and $C^{-1}E_S$.

Del mismo modo, podemos configuración de Lagrange y resolver un problema a $(1)$, lo que produce una solución de $$w_1^* = \frac{C^{-1}1_n}{1_n^tC^{-1}1_n} \propto C^{-1}1_n$$.

Para resolver el problema $(2)$, de nuevo con la instalación de un Lagrangiano como $$L^{(2)} = \frac{w^tE_S-r_f}{\sqrt{w^tCw}} - \rho(w^t1_n-1).$$ La condición de primer orden es $$0 = \frac{\partial L^{(2)}}{\partial w} = \frac{E_S}{\sqrt{w^tCw}} - \frac{(w^tE_S-r_f)Cw}{(w^tCw)^{3/2}}-\rho1_n.$$ Reorganizar los términos y tenemos $$w_2^* = \frac{(w_2^{*t}Cw_2^*)}{w_2^{*t}E_S-r_f}C^{-1}E_S-\frac{\rho(w_2^{*t}Cw_2^*)^{3/2}}{w_2^{*t}E_S-r_f}C^{-1}1_n = a C^{-1}1_n + b C^{-1}E_S.$$ Mientras $E_S$ no es paralelo a $1_n$, siempre se puede descomponer la solución de $(r)$ como una combinación lineal de solución de $(1)$ $(2)$ $$w = \alpha w_1^* + \beta w_2^*$$. Since $1 = w^t1_n = w_1^{*t}1_n = w_2^{*t}1_n$, that leads to $\alpha + \beta = 1$, or $$w = \lambda w_1^* + (1-\lambda)w_2^*.$$ Así que su respuesta a la pregunta 1.

Para la pregunta 2., podemos ver que el problema (r) es exactamente el problema (2) con una restricción adicional de $w^tE_S = r$. Supongo que esto es lo que se entiende por 'caso especial'.