Multiplicativa grupo de $(\mathbb Z/p^r)^\times$

Question

Estoy tratando de demostrar que el grupo multiplicativo de a $(\mathbb Z/p^r)^\times$ es cíclico. He establecido que el fin de este grupo es $p^{r-1}(p-1)$. Así, para mostrar que no es cíclica, basta producto de un elemento de orden $p^{r-1}$ y un elemento de orden $p-1$, para, a continuación, debe ser un producto cíclico de los grupos de estos dos órdenes, y desde $p^{r-1}$ $p-1$ son relativamente primos, se deduce que es cíclico. Pero, estoy teniendo problemas para encontrar elementos con estas órdenes. Traté de calcular el orden de varios elementos mediante la fórmula binominal, pero lo tengo bastante desordenado. Alguna sugerencia para que los elementos a tratar y cómo demostrar que han deseado órdenes, o por otra forma de hacer la prueba?

Answer 1

Aquí es un esquema de una posible prueba (siempre $p$ es impar):

• Deje $x,y\in \left(\mathbb Z/N\mathbb Z\right)^\times$ ser de la orden respectiva $n$$m$, y de tal manera que $\gcd(x,y)=1$. A continuación, $xy$ orden $nm$ (modulo $N$).
• A partir del resultado anterior, y el hecho de que $\left(\mathbb Z/p\mathbb Z\right)^\times$ es cíclica, es decir, demostrar que la $\left(\mathbb Z/p^2\mathbb Z\right)^\times$ es cíclico.
• El uso de la inducción.

Answer 2

El argumento habitual para $p$ impar es probar primero para $r=1$ y, a continuación, probar que si $g$ es un generador de $r=1$ entonces $g$ o $g+p$ es un generador de todas las $r\ge 2$.