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¿Por qué todas las soluciones a esta ecuación tiene la misma forma?

En este documento en la página 45, los autores afirman que

Supongamos que sabemos que w×dw=dφ+3j=1αjdxj, where φ\H1(R3,R), αj are real numbers and |w|=1. One then checks that w(x)=expi(φ(x)+3j=1αjxj+θ). for some θR.

Aquí w×dw=3i=1(w1iw2w2iw1)dxi for w=w1+iw2:R3C.

No entiendo esta declaración. De hecho, se puede comprobar fácilmente que w (2) satisface la ecuación (1). Pero, ¿por qué todos los w que satisface la ecuación (1) tiene la forma (2)? Cualquier sugerencia sería muy apreciada!

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Robert Lewis Puntos 20996

Yo también, como Anthony Carapetis, encontrar la notación w×dw algo oscuro y confuso; estoy acostumbrada a usar la cuña símbolo "", en el contexto de formas diferenciales, y yo no puedo todavía ver cómo el "×" símbolo se utiliza de una manera alguna con la que estoy familiarizado, por ejemplo, como ocurre de ordinario cálculo vectorial en R3.

He comprobado (muy brevemente) el documento citado por mjb en su post, y no he podido encontrar, en el corto periodo de tiempo que he pasado, cualquier definición o una justificación del w×dw notación. Sospecho que es allí probablemente, y tal vez una cuidadosa lectura de la ponencia me va a permitir encontrar.

Sin embargo, podemos simplemente tomar la notación w×dw en el valor de cara, sobre la base de la OP de la inclusión de la definición

w×dw=3i=1(w1iw2w2iw2)dxi,

y trabajar con este aparentemente algo ad hoc de la notación como nos es dada; la ecuación anterior define el operador w×dw, para el presente propósito, independientemente de las sutilezas de los tradicionales simbolismo matemático. Tenga en cuenta que he insertado entre paréntesis para el grupo de la expresión w1iw2w2iw2, por lo que la cosa se multiplica dxi; esta es la forma más sencilla que puedo hacer coherente el sentido de esta ecuación. La aceptación de este (esperemos) modificación de menor importancia, se observa que

w×dw=3i=1(w1iw2w2iw2)dxi=w1dw2w2dw1,

el dwi diferenciales ordinarias formas; y supongo que el ×-producto de la notación hace un poco más de sentido desde este punto de vista: tomar w=(w1,w2,0)Tdw=(dw1,dw2,0)T, el ordinario × operación puede ser transformado en una sensata expresión similar a la habitual determinante definición basada en:

w×dw=det;

que tan lejos como quisiera aprovechar esta discusión de la notación, simplemente aceptar

w \times dw = w_1dw_2 - w_2dw_1

para el presente propósito.

Estas cosas se dice, sin duda, es fácil comprobar que (1) se sigue de (2) basado en este ad hoc fórmula para w \times dw; de hecho tenemos,

w = w_1 + i w_2 = \exp i(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta)

= \cos(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta) + i \sin(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta),

de dónde

dw_1 = -\sin(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta)(d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j),

y

dw_2 = \cos(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta)(d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j),

así que

w_1 dw_2 = \cos^2(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta)(d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j),

y

w_2 dw_1 = -\sin^2(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta)(d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j),

de dónde

w \times dw = w_1dw_2 - w_2dw_1

= (\cos^2(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta) + \sin^2(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta))(d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j)

= d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j,

uso de la norma, trigonométricas elementales de identidad \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1.

La clave para hacer que se vaya la otra forma es, creo yo, para explotar plenamente la hipótesis dada. Es decir, que además de asumir

w \times dw = d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j,

uno debe darse cuenta que "sabemos que . . . \vert w \vert = 1". Para entonces, podemos escribir

w = \cos \psi + i \sin \psi = \exp(i\psi),

de dónde

w_1 = \cos \psi

y

w_2 = \sin \psi,

y voila! las vueltas de llave en la cerradura, ya que ahora

dw_1 = -\sin \psi d\psi,

dw_2 = \cos \psi d\psi,

rendimiento

w \times dw = w_1dw_2 - w_2dw_1 = (\cos^2 \psi + \sin^2 \psi) d\psi = d\psi,

de modo que la configuración de

d\psi = w \times dw = d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j,

tenemos

\psi = \varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta

para la constante de \theta; este último es factible, localmente, al menos, desde

d\psi - (d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j) = d(\psi - (\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j)) = 0.

Configuración

\psi = \varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta

en la fórmula w = \exp (i\psi) se obtiene el resultado deseado.

Debe ser observado que la suposición \vert w \vert = 1 parece ser esencial aquí; de hecho, si nos permitir \vert w \vert \ne 1, podemos tener w = r \exp(i\psi), r un no-función constante, y

dw_1 = \cos \psi dr - r \sin \psi d \psi,

dw_2 = \sin \psi dr + r \cos \psi d \psi,

y un fácil cálculo revela que

w \times dw = w_1 dw_2 - w_2 dw_1 = r^2 d \psi,

de dónde

d(w \times dw) = 2 r dr \wedge d \psi \ne 0

en general, por lo que el w \times dw no será integrable, es decir, exacta, de forma diferenciada. Si r \ne 1 es constante, entonces tenemos aparentemente una solución con

\psi = r^{-2}(\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j) + \theta,

viz.

w = r \exp (i( r^{-2}(\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j) + \theta)),

pero aquí \vert w \vert = r \ne 1.

Por último, debo añadir que en la realización de la discusión anterior que han pasado más de ciertos la analítica de sutilezas, tales como la interpretación exacta del significado de d \varphi\varphi \in H^1(\Bbb{R}^3, \Bbb{R}), si los derivados que debe ser tomado como débil o fuerte, y cómo estas preocupaciones pueden afectar el resultado; ni he dirigida a las preguntas que pudieran surgir con respecto a la existencia global y/o la suavidad de \psi. Pero creo que, sobre la base de lo que he sido capaz de leer, que los argumentos que va a volar. Si alguien sabe o cree lo contrario, se lo agradecería audiencia sobre él. De todos modos, espero haber cubierto los puntos esenciales.

Saludos!

1voto

Robert Lewis Puntos 20996

mjb! y cualquier otros lectores también!

Ya que este post es demasiado largo para un comentario, y ya que los mensajes largos con un montón de Látex tomar un terriblemente largo plazo para dictar en mi equipo, he decidido agregar una por separado respuesta a la pregunta; es realmente una continuación de la primera.

Espero que no me arruine la diversión, pero aquí es cómo puedo mostrar la existencia y la suavidad de \psi: desde \vert w \vert = 1,w_1^2 + w_2^2 = 1, lo que significa que no siempre existe una \psiw_1 = \cos \psiw_2 = \sin \psi; basta pensar en el círculo unidad en el w_1-w_2 plano, y tome \psi a ser, es decir, el ángulo que forma el segmento uniendo el punto de (0, 0) (w_1, w_2) hace con el w_1-eje. Lo que he escrito solo es por supuesto una descripción verbal de la habitual imagen de la escuela elemental de la geometría en la que se relaciona \sin \cos a las coordenadas de los puntos sobre el círculo unitario; me gustaría incluir un gráfico si pudiera, pero no tengo el SW herramientas para entonces, en mi 'droid, desde el que escribo esta respuesta. Pero estoy bastante seguro de que usted está familiarizado con la imagen que estoy describiendo; de todos modos, todo a través de la web de una forma u otra. De modo que tal \psi existe. Es, por supuesto, no la única como la transformación de \psi \to \psi + 2\pi rendimientos otra solución a las ecuaciones \cos \psi = w_1, \sin \psi = w_2. Sin embargo, \psi es fácilmente visto como una función suave de w_1, w_2: en la vecindad de un punto en el círculo unitario (w_1, w_2) tal que w_1 \ne 0, se observa que la tenemos

\tan \psi = \frac{\sin \psi}{\cos \psi} = \frac{w_2}{w_1},

que en sí mismo es suficiente para establecer que \psi es una función suave de w_1w_2, ya que la escritura

g(\psi, w_1, w_2) = \tan \psi - w_1^{-1}w_2

tenemos, por el teorema de la función implícita, de que el \psi(w_1, w_2) tal que

g(\psi(w_1, w_2), w_1, w_2) = \tan \psi(w_1, w_2) - w_1^{-1}w_2 = 0

es, de hecho, suave, ya que

\frac{\partial g}{\partial \psi} = \frac{\partial \tan \psi}{\partial \psi} = \sec^2 \psi = \cos^{-2} \psi = w_1^{-2} \ne 0.

Cerca de los puntos en el círculo de w_1^2 + w_2^2 = 1 dondew_1 = 0,w_2 \ne 0, por lo que podemos trabajar con \cot \psi en lugar de \tan \phi; uno necesita simplemente invertir los roles de w_1 w_2 en el anterior argumento para demostrar \psi liso en este caso.

Ese es mi punto de establecer que el \psi(w_1, w_2) \exp(i \psi(w_1, w_2)) = w_1 + iw_2 es suave.

A continuación, vamos me perfeccionar mis observaciones sobre

d\psi = w \times dw = d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j,

lo que implica

\psi = \varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta

para la constante de \theta; cuando me dijo que este último paso es factible, localmente, al menos, desde

d\psi - (d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j) = d(\psi - (\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j)) = 0,

Me estaba refiriendo al hecho de que, para una función f, df = 0 sólo es posible si, y por lo tanto implica, f es una constante. Introduje la noción de la localidad para cubrir la posibilidad de que el dominio de las funciones podrían no estar conectado, en cuyo caso tendríamos algo como \theta es constante en cada uno (topológico) de los componentes de su dominio. Esto, por supuesto, es un caso de verbal y matemática exageración, ya que sabemos de la declaración del problema que el dominio de todo es \Bbb{R}^3. Cuando escribí esas palabras, yo estaba en el hecho de que se mueve muy rápido (yo tenía que salir para el trabajo momentáneamente); las diferentes formas diferenciales volaban por mi mente, y, en verdad, seguí pensando en los relacionados con el hecho de que una forma de \rho tal que d \rho = 0 satisface \rho = d \sigma alguna forma \sigma, que por supuesto es cierto a nivel local. Que idea inadvertencia se deslizó dentro, y influido en mi escritura. En resumen, creo que lo que he dicho es esencialmente correcto, sin duda podemos tomar \theta a ser contstant "localmente al menos", ya que, de hecho, la conclusión se sostiene en un sentido global en \Bbb{R}^3. Espero que estos comentarios aclarar mi respuesta anterior.

Finalmente, en el pensamiento acerca de este problema, me di cuenta de algo muy interesante acerca de nuestro amigo w \times dw que creo que vale la pena transmitir. Hemos observado que

w \times dw = w_1 dw_2 - w_2 dw_1;

nota ahora que también tenemos

w_1 d w_2 - w_2 dw_1 = w_1^2 d(w_1^{-1}w_2) = w_1^2d(\tan \psi),

lo que indica que el "operador" w \times dw es de alguna manera profundamente conectada a la fásica o angulares representación w = \exp(i\psi). Por supuesto, algunos de esta noción ha sido roto, en cierta medida, en nuestra discusión; pero sospecho que hay mucho más para ser visto, aunque voy a tener que dejar ese tema para un futuro debate. Las relaciones de fase para valores complejos de funciones en los colectores de forma fascinante y de gran alcance sujeto en su propio derecho; siempre estoy interesado en saber más acerca de ellos.

Espero que estos comentarios aclaró mi post anterior.

Saludos.

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