Yo también, como Anthony Carapetis, encontrar la notación w×dw algo oscuro y confuso; estoy acostumbrada a usar la cuña símbolo "∧", en el contexto de formas diferenciales, y yo no puedo todavía ver cómo el "×" símbolo se utiliza de una manera alguna con la que estoy familiarizado, por ejemplo, como ocurre de ordinario cálculo vectorial en R3.
He comprobado (muy brevemente) el documento citado por mjb en su post, y no he podido encontrar, en el corto periodo de tiempo que he pasado, cualquier definición o una justificación del w×dw notación. Sospecho que es allí probablemente, y tal vez una cuidadosa lectura de la ponencia me va a permitir encontrar.
Sin embargo, podemos simplemente tomar la notación w×dw en el valor de cara, sobre la base de la OP de la inclusión de la definición
w×dw=∑3i=1(w1∂iw2−w2∂iw2)dxi,
y trabajar con este aparentemente algo ad hoc de la notación como nos es dada; la ecuación anterior define el operador w×dw, para el presente propósito, independientemente de las sutilezas de los tradicionales simbolismo matemático. Tenga en cuenta que he insertado entre paréntesis
para el grupo de la expresión w1∂iw2−w2∂iw2, por lo que la cosa se multiplica dxi; esta es la forma más sencilla que puedo hacer coherente el sentido de esta ecuación. La aceptación de este (esperemos) modificación de menor importancia, se observa que
w×dw=∑3i=1(w1∂iw2−w2∂iw2)dxi=w1dw2−w2dw1,
el dwi diferenciales ordinarias formas; y supongo que el ×-producto de la notación hace un poco más de sentido desde este punto de vista: tomar w=(w1,w2,0)Tdw=(dw1,dw2,0)T, el ordinario × operación puede ser transformado en una sensata expresión similar a la habitual determinante definición basada en:
w×dw=det;
que tan lejos como quisiera aprovechar esta discusión de la notación, simplemente aceptar
w \times dw = w_1dw_2 - w_2dw_1
para el presente propósito.
Estas cosas se dice, sin duda, es fácil comprobar que (1) se sigue de (2) basado en este ad hoc fórmula para w \times dw; de hecho tenemos,
w = w_1 + i w_2 = \exp i(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta)
= \cos(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta) + i \sin(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta),
de dónde
dw_1 = -\sin(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta)(d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j),
y
dw_2 = \cos(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta)(d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j),
así que
w_1 dw_2 = \cos^2(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta)(d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j),
y
w_2 dw_1 = -\sin^2(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta)(d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j),
de dónde
w \times dw = w_1dw_2 - w_2dw_1
= (\cos^2(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta) + \sin^2(\varphi(x) + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta))(d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j)
= d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j,
uso de la norma, trigonométricas elementales de identidad \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1.
La clave para hacer que se vaya la otra forma es, creo yo, para explotar plenamente la hipótesis dada. Es decir, que además de asumir
w \times dw = d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j,
uno debe darse cuenta que "sabemos que . . . \vert w \vert = 1". Para entonces, podemos escribir
w = \cos \psi + i \sin \psi = \exp(i\psi),
de dónde
w_1 = \cos \psi
y
w_2 = \sin \psi,
y voila! las vueltas de llave en la cerradura, ya que ahora
dw_1 = -\sin \psi d\psi,
dw_2 = \cos \psi d\psi,
rendimiento
w \times dw = w_1dw_2 - w_2dw_1 = (\cos^2 \psi + \sin^2 \psi) d\psi = d\psi,
de modo que la configuración de
d\psi = w \times dw = d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j,
tenemos
\psi = \varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta
para la constante de \theta; este último es factible, localmente, al menos, desde
d\psi - (d\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j dx_j) = d(\psi - (\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j)) = 0.
Configuración
\psi = \varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j + \theta
en la fórmula w = \exp (i\psi) se obtiene el resultado deseado.
Debe ser observado que la suposición \vert w \vert = 1 parece ser esencial aquí; de hecho, si nos permitir \vert w \vert \ne 1, podemos tener w = r \exp(i\psi), r un no-función constante, y
dw_1 = \cos \psi dr - r \sin \psi d \psi,
dw_2 = \sin \psi dr + r \cos \psi d \psi,
y un fácil cálculo revela que
w \times dw = w_1 dw_2 - w_2 dw_1 = r^2 d \psi,
de dónde
d(w \times dw) = 2 r dr \wedge d \psi \ne 0
en general, por lo que el w \times dw no será integrable, es decir, exacta, de forma diferenciada. Si r \ne 1 es constante, entonces tenemos aparentemente una solución con
\psi = r^{-2}(\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j) + \theta,
viz.
w = r \exp (i( r^{-2}(\varphi + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j x_j) + \theta)),
pero aquí \vert w \vert = r \ne 1.
Por último, debo añadir que en la realización de la discusión anterior que han pasado más de ciertos
la analítica de sutilezas, tales como la interpretación exacta del significado de d \varphi\varphi \in H^1(\Bbb{R}^3, \Bbb{R}), si los derivados que debe ser tomado como débil o fuerte, y cómo estas preocupaciones pueden afectar el resultado; ni he dirigida a las preguntas que pudieran surgir con respecto a la existencia global y/o la suavidad de \psi. Pero creo que, sobre la base de lo que he sido capaz de leer, que los argumentos que va a volar. Si alguien sabe o cree lo contrario, se lo agradecería audiencia sobre él. De todos modos, espero haber cubierto los puntos esenciales.
Saludos!