Dado un anillo alrededor de $0$ con los radios $a$$b$, puede haber un holomorphic raíz cuadrada de $z$?
La prueba es : No, porque suponiendo que existía
$$ g(z)^2 = z $$ it would follow that : $$ 2g(z)g'(z)=1$$ y, a continuación,
$$\int _ \gamma \frac{g'(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \frac{1}{2z}dz = \pi i$$
contradicción. Así que hay no puede ser un holomorphic raíz cuadrada de $z$ en ese anillo.
¿Cómo llegar a la tercera etapa a partir del segundo paso? Y por qué es una contradicción?
La idea principal que no puede haber una holomorphic raíz cuadrada alrededor del origen es precisamente porque el origen es un punto de ramificación de la raíz cuadrada de la función. A medida que se recorren alrededor del origen, la raíz cuadrada necesariamente se vuelve discontinua a lo largo de alguna rama de corte. De Cauchy de la Integral de la Fórmula, se sigue que, si $\gamma: [0,\ 1]\rightarrow\mathbb{C}$ es una simple curva cerrada en torno al origen que $$\int_\gamma \frac{1}{z}\ dz = 2\pi i$$ y esto, normalmente, se define lo que se denomina la liquidación número de la curva de $\gamma$ alrededor del origen. Más precisamente, la integral anterior se calcula el ángulo total de recorrido medido desde el origen. De ello se sigue que, si tomamos $\gamma$ a ser un círculo alrededor del origen, el recorrido de una vez, que el ángulo de recorrido es necesariamente $2\pi$. Un círculo completo. Del mismo modo, podemos generalizar este concepto en otras funciones. Si tenemos en cuenta la imagen de la curva de $\gamma$ dentro de la función de $g$, entonces el ángulo de la curva de $g(\gamma)$ está dado por $$\int_{g(\gamma)}\frac{1}{z}\ dz = \int_0^1\frac{g'(\gamma)\cdot\gamma'}{g(\gamma)}\ dt = \int_\gamma \frac{g'(z)}{g(z)}\ dz$$ Pero si $\gamma$ es una curva cerrada, entonces también lo es $g(\gamma)$. De ello se deduce que el ángulo recorrido por $g(\gamma)$ debe ser un múltiplo de $2\pi$. Pero lo anterior muestra que la curva completa sólo la mitad de un círculo a partir de la cual obtenemos nuestra contradicción. Más generalmente, usted puede encontrar el argumento de principio útil aquí.
Supongamos $g$ es un holomorphic función y $\gamma$ es una curva cerrada. Elegir un punto de $z_0$ a través de la cual $\gamma$ pasa. Como se ve todo el camino alrededor de la curva de $\gamma$, el valor de $g(z)$ comienza a $g(z_0)$ y vuelve a $g(z_0)$. En otras palabras $g(\gamma)$ es una curva cerrada. Ya que es una curva cerrada que la integral de la $\displaystyle\int_\gamma \frac{g'(z)}{g(z)}\,dz = \int_{g(\gamma)} \frac{dg}{g}$ debe ser un número entero de veces $2\pi$. Pero se puede conseguir algo más.
Si usted toma cualquier razonable de la rama de los dos valores de raíz cuadrada de la función, y $\gamma$ vientos de una vez alrededor de $0$, usted encontrará que $\sqrt{\gamma}$ solo llega a la mitad de camino en todo, y no es una curva cerrada en todo, de manera integral, no tiene que ser un múltiplo entero de $2\pi$. Pero si hay en realidad una holomorphic función de raíz cuadrada, frente a un holomorphic rama de un doble valor de la raíz cuadrada de la "función", y luego por el razonamiento en el primer párrafo de arriba, tendríamos que volver a nuestro punto de partida en la curva de $g(\gamma)$.
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