Que $f(x) = |\cos(x)|$. Demostrar la correspondiente serie de Fourier converge point-wise o uniforme y demostrar identidad.

Question

Considere la posibilidad de $f(x) = |\cos(x)|$$x \in \mathbb R$.

He probado la n-esima coeficiente de fourier $c_n = \int^{\pi}_{-\pi} f(y)e^{-iny} \ dy = \frac 1 {2\pi} \frac {(-1)^{n-1}} {n^2-\frac 1 4}$.

Sin embargo, ¿cómo puedo determinar si la serie de Fourier $\sum^{\infty}_{-\infty} \frac 1 {2\pi} \frac {(-1)^{n-1}} {n^2-\frac 1 4} e^{inx}$ convergen punto de sabio o de manera uniforme ?

Aquí la suma parcial es dado por $\sum_{|n| <N} \frac 1 {2\pi} \frac {(-1)^{n-1}} {n^2-\frac 1 4} e^{inx}$.

¿Cómo puedo usar esto para probar $\sum^{\infty}_{-\infty} \frac {(-1)^{n-1}} {n^2-\frac 1 4} = 2 \pi$$\sum^{\infty}_{-\infty} \frac {1} {(n^2-\frac 1 4)^2} = 2\pi^2$ ?

Answer 1

Definir $S_N:=\sum_{n=0}^Nc_ne^{inx}$$S'_N:=\sum_{n=-N}^{-1}c_ne^{inx}$. Ya para $M<N$, e $x\in\mathbb R$, $$|S_N(x)-S_M(x)|+|S'_N(x)-S _M(x)|\leqslant \sum_{n=M+1}^N|c_n|+|c_{-n}| \leqslant \frac 1{\pi}\sum_{n=M+1}^N\frac 1{n^2-1/4},$$ la secuencia de $(S_N)_{N\geqslant 1}$ $(S'_N)_{N\geqslant 1}$ son de Cauchy en $C(\mathbb R)$ dotado con el uniforme de la norma. La serie es igual a $f$: esto puede ser visto usando la singularidad de la serie de Fourier.

Desde $|\cos x|=\sum_{n\in\mathbb Z}c_ne^{inx}$, el valor de $\sum_{n\in\mathbb Z}c_n$ se puede obtener evaluando $0$.

Parseval la igualdad lee $$\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\mathrm dx=\sum_{n\in\mathbb Z}|c_n|^2.$$ Desde $\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\mathrm dx=1/2$, la conclusión de la siguiente manera.