mostrando una colección es una base para la topología discreta en un conjunto $X$

Question

Deje $X$ ser cualquier conjunto y dejar

$$ \mathcal{X} := \{ \{ x \} : x \in X \} $$

Para probar: $\mathcal{X}$ es una base para la topología discreta en$X$.

Probar:

Primero vamos a $x \in X$ ser arbitrario, entonces trivialmente, sabemos $x \in \{x \} $. así que la primera condición para que una base es satisfecho.

A continuación, considere una base de dos elementos $\{ x_1 \}$$\{ x_2 \}$. SI $x_1 = x_2 $,$\{x _1 \} \cap \{ x_2 \} = \{ x_1 \} $, por lo que $$ x_1 \in \{ x_ 1 \} \subset \{ x_1 \} \cap \{ x_2 \} $$

Si $x_1 \neq x_2$,$\{ x_1 \} \cap \{ x_2 \} = \varnothing$, por lo que la segunda condición de base es trivialmente satisfecho

ES esta una solución correcta?

Answer 1

Esto demuestra que el conjunto es una base para algunos de topología, no que genera la topología discreta. Sin embargo, cualquier subconjunto $A \subseteq X$ puede ser escrito como $A = \bigcup_{a \in A} \{ a \}$, lo que muestra que $A$ es abierto en la topología.

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Alternativamente, usted puede simplemente han utilizado Lema 13.2 en Munkres, que establece:

Deje $X$ ser un espacio topológico. Supongamos $\mathcal{X}$ es una colección de abrir conjuntos de $X$ tal que para cada conjunto abierto $A$ $X$ y cada una de las $x$$A$, hay un elemento $C$ $\mathcal{X}$ tal que $x \in C \subseteq A$. A continuación, $\mathcal{X}$ es una base para la topología de $X$.

Aquí, por supuesto, cada elemento de a $\mathcal{X}$ está abierto, y cualquier (abrir automáticamente) subconjunto $A \subseteq X$, y el elemento $x \in A$, satisfacer $x \in \{x\} \subseteq A$.