Hace regular la representación de un determinado grupo de contener todas las representaciones irreducibles?

Question

Sé que todas las representaciones irreducibles de $S_n$ se encuentran en $\mathbb{C}S_n$. Me pregunto ¿cómo puedo demostrar que irreducible de representaciones de grupos finitos $G$ se encuentran en $\mathbb{C}G$. Yo pensaba que el uso de la incrustación de $G$$S_n$, pero luego no sé cómo seguir. Podría alguno de ustedes me ayude, por favor?

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Tal vez tengo es: yo sé que el carácter de los regulares de la representación puede verse como la suma de los caracteres de las representaciones irreducibles con coeficientes su dimensión, por lo que están en la descomposición de los regulares de la representación. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Para probar esta afirmación el uso de caracteres es una especie de trabajar hacia atrás.

Usted puede probar esta afirmación, sin caracteres de la siguiente manera: en primer lugar, mostrar que cualquier simple $A=\mathbb{C}[G]$-módulo de $M$ es un cociente de $A$. Para ello, fix $0\neq m\in M$ y definen $\mathbb{C}[G]\rightarrow M, \; \sum\alpha_gg \mapsto\sum\alpha_gg(m)$. Demostrar que esto es en ($M$ es muy sencillo) y utilizar el teorema de isomorfismo. Ahora, el uso del teorema de Maschke para demostrar que si $M$ es un cociente de $A$, entonces también es un sumando directo de $A$.

Para más detalles de todo esto, véase, por ejemplo, la Proposición 2.14 de mis notas sobre la teoría de la representación.

Answer 2

$\mathbb{C}[G]$ es el $\mathbb{C}[G]$-módulo en un generador. Eso significa que satisface $\text{Hom}_{G}(\mathbb{C}[G], M) \cong M$ cualquier $\mathbb{C}[G]$-módulo de $M$ (desde un $G$-morfismos está determinada únicamente por la imagen de $1$, que es arbitrario); en particular, este es distinto de cero para cualquier simple $M$, de modo que existe un valor distinto de cero $G$-morfismos cuya imagen debe ser de todos los de $M$ por la sencillez. A continuación, uno de apelaciones para el teorema de Maschke.

De hecho, este argumento le dice más: que implica inmediatamente que la multiplicidad de $M$ $\mathbb{C}[G]$ $\dim_{\mathbb{C}} M$ sin carácter de la teoría. Hasta que el paso de el teorema de Maschke, este argumento es válido para un anillo arbitrario $R$: cualquier simple a la izquierda $R$-módulo es el cociente de $R$ (como $R$-módulo). Esto implica que, de hecho, debe ser isomorfo a $R/m$ donde $m$ es una máxima a la izquierda ideal.