$G\otimes \mathbb Q=0$ implica el grupo de torsión

Question

Deje $G$ sea un grupo abeliano. Supongamos que $G\otimes \mathbb Q=0$ . ¿Implica esto que $G$ ¿es necesariamente un grupo de torsión?

Answer 1

Sí. Tenga en cuenta que $G\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}\cong (\mathbb{Z}\setminus 0 )^{-1}G$ como $\mathbb{Z}$ -módulos. Ahora $\frac{g}{n}=\frac{0}{1}$ por definición significa $zg=0$ en $G$ para algunos $z\in\mathbb{Z}\setminus 0$ .