El uso de Compacidad para encontrar un no edificable conjunto

Question

$\newcommand{\ZFC}{\mathit{ZFC}}$Yo estaba tratando de explicar las primeras ideas de forzar a un amigo y me recordó la construcción de un modelo no estándar de la aritmética mediante la compacidad. Es claro que si usted comienza con una contables transitiva modelo (ctm) $M$$\ZFC$, tomar la teoría de la $M$, añada una constante $c$ a la lengua y a hacer el mismo truco, usted termina con otro modelo (no transitiva, no bien fundada) con un nuevo elemento denotado por $c$.

Mi pregunta es,

¿Por qué no esta construcción de proporcionar una forma de
obtener un no edificable conjunto? O violar $CH$?

Ponerlo en otro, más honesto forma:

¿Por qué necesito para desarrollar obligando a probar que tal independencia resultado?

Algunas reflexiones sobre esto:

• Yo (creo yo) entender el argumento de que si usted vive en el modelo mínimo, no puede ser cualquier marca comunitaria de $\ZFC$.
• Es lo mismo para mí si suponemos una inaccesible en la discusión (por lo tanto, tendríamos muchas marcas). De todos modos, el punto es que para obtener otro modelo, no necesariamente transitivo.
• Sé que el uso de la compacidad y ultraproducts es casi el mismo, y sé que un cardinal medible implica $V\neq L$ por su vínculo a la ultraproducts, así que tal vez bajo este supuesto un "elemental" compacidad argumento podría hacer el truco, al menos para constructibility.

En cualquier caso, me gustaría saber donde esta obvia "agregar un nuevo elemento $c$" compacidad argumento se rompe en el primer lugar.

Answer 1

Vamos a ir a través de la habitual argumento de compacidad se utiliza para.

Añadimos una constante $c$, y que podemos reclamar algo como $c>1$ $c>1+1$ $c>1+1+1$ y así sucesivamente. A continuación, cada una de un número finito de axiomas será satisfecho en nuestra "estructura más habitual", por lo que es coherente que $c>n$ todos los $n\in\Bbb N$.

Pero, ¿qué sucede cuando se intenta que en un modelo de $\sf ZFC+\it V=L$? Primero de todo, ¿quién le dice a usted que usted puede encontrar "suficiente" definible elementos como $1+1+1+1$ y los gustos de ella? Claro, usted podría ser capaz de hacer algunas argumento de que su modelo es pointwise definibles, por lo que acaba de agregar $\lnot\varphi(c)$ para todas las definiciones.

Pero en ningún momento se contradicen $V=L$. Usted acaba de afirmar que $c$ será interpretar como un elemento estándar, o más bien una externamente no bien fundada conjunto.

Esto es aún más claro cuando se piensa acerca de ultraproducts. Si usted toma un ultraproduct de los modelos de satisfacción de $V=L$, el resultado será siempre satisfacer $V=L$. Esto es Los' teorema.

Con obligando esto no sólo es más fácil hacerlo directamente, sino que se adquiere la capacidad para conservar los detalles de su modelo. Lo que significa que usted no añada los números ordinales para modelos transitivos. Que genial! Compacto y no tiene la oportunidad de hacerlo.