Probar que las matrices completamente hecha de bloques de la forma $\begin{pmatrix} z & iw \\ i \bar w & \bar z \end{pmatrix}$ tiene un factor realmente determinante.
Por ejemplo, afirmamos que $$\Delta=\det \begin{pmatrix} z_1 & iw_1 &z_2 & i \bar w_1\\ i \bar w_1 &\bar z_1 & i\bar w_2 & \bar z_2\\ z_3 & iw_3 &z_4 & i \bar w_4\\ i \bar w_3 &\bar z_3 & i\bar w_4 & \bar z_4 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}\etiqueta{*}$$ para todos los $z_i,w_i \in \mathbb{C}$.
Por qué esto es interesante
Si empezamos con cualquier matriz cuadrada $A$ más de los cuaterniones $\mathbb{H}$, y enviar a cada elemento de la forma $a+bi+cj+dk$ a la matriz $\begin{pmatrix} a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}$, we can define the determinant of $$ as the determinant of the matrix obtained after expanding $$ a una matriz compleja de esa manera.
Resulta que esta es la opción "correcta", en la conservación de importantes normas como invertibility equivalente a determinante distinto de cero. Entonces, en otras palabras, necesitamos:
Probar todos los quaternionic matrices tienen un factor realmente determinante.
Para un único bloque de la demanda es obvio, pero no está claro cómo reducir el caso general.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
A ver que $\Delta\in\mathbb{R}$ tomemos el complejo conjugado de la misma y demostrar que $\overline{\Delta}=\Delta$ ( * ). Será en claro lo que sucede con todos los bloques mirando el primer bloque. $$ \overline{\Delta}=\det\overline{\begin{pmatrix} z & iw \\ i \bar w & \bar z \end{pmatrix}}= \det\begin{pmatrix} \bar z & -i\bar w \\ -iw & z \end{pmatrix}. $$ Ahora pasamos cada fila impar (total $n$ muchos) con la siguiente fila, y cada columna impar (también se $n$ muchos) con la siguiente siquiera uno. El determinante cambia el signo $2n$ momento, es decir, mantiene la misma. $$ \det\begin{pmatrix} \bar z & -i\bar w \\ -iw & z \end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix} -iw & z\\ \bar z & -i\bar w \end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} z & -iw \\ -i\bar w & \bar z \end{pmatrix}. $$ Ahora multiplique cada extraño de columna y, a continuación, cada fila impar por $-1$. El factor determinante es multiplicado por $(-1)^{2n}=1$ $$ \det\begin{pmatrix} z & -iw \\ -i\bar w & \bar z \end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix} -z & -iw \\ i\bar w & \bar z \end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} z & iw \\ i\bar w & \bar z \end{pmatrix}=\Delta. $$ Desde $\overline{\Delta}=\Delta$ es real.
