Una frase que tiene infinitos modelos, modelo finito, pero ningún modelo finito por encima de cierta cardinalidad

Question

Que $T$ ser una teoría y $\sigma$ una sentencia, que

• existe infinito $\mathfrak{A} \models T + \sigma$.
• existe finito $\mathfrak{A} \models T + \sigma$.
• existe $n \in \mathbb{N}$, tales que para todos los $\mathfrak{A}$ $|\mathfrak{A}| > n$, $\mathfrak{A} \models T + \neg\sigma$.

¿Es esto posible?

Answer 1

Sin duda.

Considere la posibilidad de $\cal L$ a ser el lenguaje que contiene una relación binaria símbolo $<$.

1. $T$ es la teoría que indica que $<$ es un orden lineal (irreflexiva, transitiva y total).
2. $\sigma$ es la declaración de que si no se $n$ diferentes elementos en el universo, $<$ es ilimitado. Que es:$$\Big(\exists x_1\ldots\exists x_n(\bigvee_{i<n}x_i\neq x_{i+1})\Big)\rightarrow\forall x\exists y(x<y)$$

Es fácil ver que $T$ ha finito de modelos de cualquier cardinalidad, así infinita de modelos. Pero $\frak A\models\sigma$ luego de su universo infinito o tiene menos de $n$ diferentes objetos.