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Question

Deje $\phi\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^n)$ ser tal que $$\{\lvert \xi\rvert \le 1\} \prec \phi \prec \{\lvert \xi \rvert < 2\}^{[1]} $$ y definir el Littlewood-Paley proyectorescomo \begin{equation} (P_{2^j}f)^\wedge=\left[\phi\left( \frac{\xi}{2^j} \right)- \phi\left( \frac{\xi}{2^{j-1}}\right)\right] \widehat{f}(\xi) \end{equation} donde $j\in \mathbb{Z}$ $f$ es de Schwartz. ($\,^\wedge$ denota la transformada de Fourier.)

Pregunta. Supongamos que $f$ es un Schwartz función tal que $\widehat{f}$ es compatible en $\{\lvert \xi\rvert >2\}$, y deje $s>0$ ser fijo. No existe una absoluta constante $C$ de manera tal que la siguiente desigualdad es verdadera? $$\sum_{j=1}^\infty \left( 2^j\right)^s \lVert P_{2^j} f\rVert_2\le C \lVert f \rVert_{H^s}.$$ EDITAR ahora creo que la respuesta es negativa, ver los comentarios.

Un poco de motivación(se puede omitir la lectura de este):

Yo quiero probar un máximo de estimación para el grupo de Schrödinger $S_t=e^{it\Delta}$, es decir, $$\tag{1}\lVert S^\star f\rVert_{L^p(B_1)}\le C \lVert f\rVert_{H^s},$$ donde $S^\star f=\sup_{t\in (0, 1)}\lvert S_tf\rvert$ $B_1$ es la unidad de la bola. Todos los artículos que estoy consultando reclamación sin más explicación que es suficiente para probar esta aparentemente más débil hecho: $$\tag{2}\lVert S^\star f\rVert_{L^p(B_1)}\le C \lambda^s\lVert f\rVert_2,\qquad \operatorname{Spt}\widehat{f}\subset \{\lvert \xi\rvert \sim \lambda\}$$ (donde $\lvert \xi\rvert \sim \lambda$ significa que $\lambda\le \lvert \xi \rvert \le 2\lambda$). Me gustaría probar la implicación $(2)\Rightarrow (1)$.

Ahora si $f$ es un Schwartz función que es la transformada de Fourier apoyado en $\{\lvert \xi \rvert> 2\}$, luego $$f=\sum_{j=1}^\infty P_{2^j}f.$$ La aplicación de la sublinearity de $S^\star$ y (2) llegamos a \begin{equation} \begin{split} \lVert S^\star f\rVert_{L^p(B_1)} &\le\sum_{j=1}^\infty \lVert S^\star P_{2^j} f\rVert_{L^p(B_1)} \\ &\le C \sum_{j=1}^\infty \left(2^j\right)^s\lVert P_{2^j}f\rVert_2, \end{split} \end{equation} y aquí es donde la Pregunta que viene.

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$\,^{[1]}$ Lo que significa que $\phi\ge 0$ en todas partes, que $\phi(\xi)=1$ todos los $\xi \in \{\lvert \xi\rvert \le 1\}$, y que el apoyo de $\phi$ está contenido en $\{\lvert \xi \rvert < 2\}$.

Answer 1

Después de hablar con mi asesor creo que tengo una visión clara de la materia.

Supongamos que $f$ es un Schwartz función cuya transformada de Fourier es compatible distancia desde el origen a${}^{[1]}$, por lo que $$ f=\sum_{j=0}^\infty P_{2^j}f.$$ La serie converge en el sentido de que la suma es localmente finito en la transformada de Fourier lado. Por una simple versión de la Littlewood-Paley la desigualdad tenemos ${}^{[2]}$: $$\tag{LP}\lVert f\rVert_{H^s}^2\sim \sum_{j=0}^\infty (2^j)^{2s} \lVert P_{2^j} f\rVert_2^2$$ es decir, el $H^s$-norma de $f$ es comparable con la $\ell^2$-norma de la secuencia $$\mathbf{F}=\left\{ (2^j)^s\lVert P_{2^j}f\rVert_2\ :\ j=0,1,2\ldots\right\}.$$

Con este recién introducido la notación podemos reformular la Pregunta anterior:

Pregunta (reformulado): Es cierto que $\lVert \mathbf{F}\rVert_{\ell^1}\le C \lVert f\rVert_{H^s}?$

Que este no necesita ser verdadero puede ser fácilmente visto ahora por la inserción de relación (LP) en la pregunta: $$\lVert \mathbf{F}\rVert_{\ell^1}\le C \lVert \mathbf{F}\rVert_{\ell^2} \tag{?!}$$ y esto es claramente falso, como las desigualdades entre las $\ell^p$ espacios de ir al frente . Para un ejemplo concreto acaba de tomar una función $f$ tal que $\mathbf{F}=\{\frac{1}{j}\}$.

Sin embargo, no todo está perdido. Si estamos dispuestos a perder un $\varepsilon$ en el exponente $s$ podemos aplicar de Cauchy-Schwarz desigualdad de la siguiente manera: $$ \begin{split} \sum_{j=0}^\infty (2^j)^s\lVert P_{2^j}f\rVert_2 & = \sum_{j=0}^\infty (2^j)^{s+\varepsilon}\lVert P_{2^j}f\rVert_2 (2^j)^{-\varepsilon} \\ &\le \left( \sum_{j=0}^\infty (2^j)^{2(s+\varepsilon)}\lVert P_{2^j}f\rVert_2^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{j=0}^\infty (2^{-\varepsilon})^j\right)^{\frac{1}{2}} \\ &=C_\varepsilon \left( \sum_{j=0}^\infty (2^j)^{2(s+\varepsilon)}\lVert P_{2^j}f\rVert_2^2\right)^{\frac{1}{2}} \le C_\varepsilon \lVert f\rVert_{H^{s+\varepsilon}}. \end{split} $$ De esta manera podemos obtener una estimación no en el espacio que desee $H^s$ pero en un poco peor el espacio $H^{s+\varepsilon}$.

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${}^{[1]}$ Esto es sólo una simplificación de la asunción y se puede quitar en el costo de algunos tecnicismo menor.

${}^{[2]}$ Aquí $A\sim B$ significa que $cB\le A\le CB$ donde $c, C$ son absolutos constantes. Para este particular, la desigualdad de las constantes se pueden tomar para ser$c=\frac{1}{2}$$C=1$.