pregunta de probabilidad/combinatoria con canicas

Question

Una urna tiene 20 verdes de 50 canicas. Saca las 50 canicas sin reemplazarlas. Sea X = # de tiradas de canicas verdes de cualquier longitud. Ejemplo : GGGG BBB GG BB G BB. . . En el ejemplo anterior, hay 3 carreras en los primeros 14 ensayos. Para obtener X, tendríamos que examinar toda la secuencia de los 50 ensayos.

Encuentre P(X=1)

Para las tiradas de X=1, eso significa que las 20 canicas verdes están juntas. Hay 31 puntos en los que podría estar esa carrera. Llegué a la respuesta $\frac{20 \choose 20}{50 \choose 20} * 31 $

¿Es esto correcto? El mayor problema que tengo para calcular mi respuesta es que las canicas verdes tienen que ser en una fila . Si las canicas verdes no tuvieran que estar en fila entonces sería simplemente ${50 \choose 20}$ ?

Answer 1

Sí, pero en lugar de pensar en ello como "contar arreglos en los que las canicas verdes están en fila", piensa en ello como "formas de dividir una fila de canicas verdes en grupos"; luego encuentra lugares para esos grupos.

Hay $\tbinom{20}{20}$ maneras de agrupar veinte artículos en un grupo.   Aunque prefiero contar con eso como $\binom{19}{0}$ formas de poner no dividido entre veinte artículos (que también es $1$ manera).   Además, hay $\binom{31}{1}$ formas de insertar ese grupo antes, entre o después otros treinta elementos.   Por último, el denominador es el total de formas de ordenar dos tipos de, respectivamente, veinte y treinta elementos.

$$\require{cancel}\mathsf P(X=1) = \left.\color{silver}{\cancel{\dbinom{19}{0}}}\dbinom{31}{1}\middle/\dbinom{50}{20}\right. = \dfrac{31}{\tbinom{50}{20}}$$

Del mismo modo, hay $\binom{19}{1}$ formas de colocar un dividir entre veinte artículos idénticos, entonces $\binom{31}{2}$ formas de seleccionar las plazas para estos grupos antes, entre o después treinta artículos.

$$\mathsf P(X=2) = \left.\dbinom{19}{1}\dbinom{31}{2}\middle/\dbinom{50}{20}\right.$$

¡Oh, hola!   ¿Puedes ver un patrón obvio emergiendo?

$$\mathsf P(X=x) = \left.\dbinom{19}{x-1}\dbinom{31}{x}\middle/\dbinom{50}{20}\right. \quad\Big[x\in\Bbb N\cap[1;20]\Big]$$