Sé que esta pregunta ha sido respondida satisfactoriamente, pero permítanme aportar un argumento diferente.
Esto es ciertamente menos inteligente que el argumento que proporcionaba el rastreo, pero tiene la ventaja de ser muy concreto. Tiene la desventaja de no proporcionar un mapa libre de coordenadas - en su lugar sólo estoy mostrando que las construcciones explícitas estándar tanto para el functor pullback como para el functor $Hom(\_, O_X)$ de viaje.
En primer lugar, ¿cómo se describe una gavilla localmente libre de rango $n$ ? Podemos hacerlo dando una colección de conjuntos abiertos $U_{a}$ , para $a \in A$ junto con las matrices de transición $t_{ab} \in GL_n( O_X(U_{ab}))$ que satisface las condiciones habituales de los cociclos $(t_{ab} t_{bc} = t_{ac}$ en los solapamientos triples, y $t_{aa} = id$ ). (Aquí $U_{ab} := U_a \cap U_b$ .)
Para responder a tu pregunta, sólo tenemos que entender cómo pasar de estos datos a una descripción similar del haz dual, o a una descripción del haz pullback. Tu pregunta es si estas dos transformaciones son conmutables, es decir, si los dos órdenes de aplicación dan datos isomórficos.
Como en este caso ambas operaciones son relativamente concretas, podemos escribir fórmulas para estas operaciones, y comprobar computacionalmente la conmutatividad.
Doble:
Dados los datos de cobertura $(U_a,t_{ab})$ describiendo $E$ ¿Qué es lo que describen los datos de cobertura? $E^*$ ?
Si $E_{U_a} \cong O_{U_a}$ entonces también $E^*_{U_a} \cong O_{U_a}$ . Así que podemos tomar los mismos conjuntos abiertos.
¿Y las funciones de transición?
Un impuesto estándar muestra que son $(t_{ab}^{-1})^T$ .
He aquí una intuición y una prueba de ello.
Dejemos que $f_i, f_j$ sean dos trivializaciones $O_U^n \to E$ sobre algún conjunto abierto $U = U_i = U_j$ . Entonces el mapa de transición sobre $U_i$ a $U_j$ viene dada por $f_j^{-1} \circ f_i$ . Lo que ocurre con una sección de $E$ , $s \in E^*(U)$ . Podemos retroceder hasta la i-ésima trivialización para obtener $s \circ f_i$ y lo devolvemos a la $j$ th trivialización para obtener $s \circ f_j$ . La transición de $U_i$ a $U_j$ está retrocediendo a lo largo de $f_i^{-1} \circ f_j$ que es el pullback a lo largo de la inversa de la función de transición original. (Hay un único mapa lineal que logrará esta transición, y éste funciona. También se pueden perseguir bases para decir esto).
Retroceso:
Aquí los conjuntos abiertos van a ser $f^{-1}(U_a)$ y las funciones de transición son sólo los pullbacks de las matrices, es decir, la matriz llena con el pullback de las entradas. Aquí se juntan un montón de hechos minúsculos - el pullback conmuta con las sumas directas, el pullback lleva la gavilla de estructura a la gavilla de estructura, el pullback sobre funciones es el mapa original sobre gavillas en la definición de morfismo de espacio anillado...
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Para comprobar que estos dos procesos conmutan, dejemos que $A \in GL_n(O_X)$ . Entonces tenemos que comprobar que $((f^*A)^{-1})^T = f^* ((A^{-1})^T)$ .
(La cuestión de la igualdad tiene sentido: ambos son $n \times n$ matrices con entradas en $O_Y$ .)
Pero $f^*$ a nivel de elementos es un homomorfismo de anillo, por lo que conmuta con el $det$ y también la inversión multiplicativa, por lo que en particular conmuta con la inversión de matrices, y también conmuta con la toma de la transposición.
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Así, finalmente sabemos que ambos haces vectoriales se trivializan sobre los mismos conjuntos abiertos, con las mismas funciones de transición entre ellos. Por lo tanto, son literalmente iguales, al menos si empezamos con esta descripción particular de $E$ en $X$ o, en todo caso, hemos establecido el isomorfismo.
Así hemos demostrado algo sobre el movimiento de paréntesis: $f^*(E^*) = (f^* E)^*$ ¡!
Espero que sea útil. A mí me ayudó.
