Para determinar si el conjunto es abierto , cerrado

Question

Definir una función $f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ por

$$f(x, y) =\begin{cases}1 & \text{if $xy=0$} \\ 2& \text{en caso contrario} \end{casos}$$

Si $S = \{(x, y): f \text{ is continous at point $( x, y)$}\}$, a continuación, establezca $S$ es

A. Abra

B. Conectado

C. Cerrado

D. Vacío

Como $f$ no es continua en los ejes y es continua en todos los otros puntos. Así que establezca $S \neq \phi$. Pero ¿cómo elegir entre otras opciones?

Answer 1

Considerar todos los puntos de $(x,y)$ que $xy=0$. Claramente, esto sólo puede suceder si $x=0$ o $y=0$, lo $f(x,y) = 1$ a lo largo de los ejes de coordenadas, y es $2$ en todas las demás. También debe quedar claro que $f$ es continua en todas partes, excepto los ejes: los ejes son el único lugar donde se produce una discontinuidad. ¿Qué tipo de es$S$, entonces va a ser?

EDIT: En cuanto a la forma de pensar de las otras opciones:

• Un (abierto) subconjunto de $\mathbb{R}^n$ está conectado el fib es la ruta de acceso conectado, es decir, entre dos puntos en el juego, puede dibujar una línea entre ellos que permanece en el interior del conjunto. $S$ no puede ser la ruta de acceso conectado ya que no hay manera de dibujar una línea de$(1,-1)$$(1,1)$, ya que esto requeriría de mí a cruz del eje y, a continuación, ir fuera del conjunto. Sin duda, este no es útil si no sabemos que $S$ está abierto a empezar, así que aquí está la definición real para que usted rompecabezas a través de: un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ está conectado si no es un subconjunto de la inconexión de la unión de dos conjuntos. Te recomiendo buscar en google para obtener recursos adicionales para hacer esto más claro.
• Un subconjunto de a $\mathbb{R}^2$ es abierto si, para cada punto de $(x,y)$, puedo encontrar un disco abierto $D$ (es decir, los puntos del interior sin la circunferencia que contiene a $(x,y)$ que el disco está en la $S$. En símbolos, no es un disco de $D$ tal que $(x,y)\in D\subset S$. Puede que no sea claro visualmente si esto es cierto para $S$ ahora mismo (aunque lo es), así que vamos a ponerlo de lado y seguir adelante.
• Un subconjunto de a $\mathbb{R}^2$ es cerrado si contiene a todos los de su límite de puntos. Un punto límite de $S$ tiene la propiedad de que cualquier disco alrededor de ese punto tiene una intersección no vacía con $S$. Esto puede ser un poco difícil de pensar acerca de si usted no ha hecho mucho topología. Te recomiendo buscar en google por imágenes/recursos adicionales. Mirando a nuestro conjunto particular $S$, si sacamos un disco alrededor de un punto del eje (el origen, dicen), entonces esto claramente se cruza con $S$. Pero el origen no es $S$! Por lo tanto, $S$ no está cerrado, por lo que debe estar abierto.

EDIT 2: fijo flub con la definición abierta

EDIT 3: Fija la conexión explicación.

Answer 2

Pensar acerca de la función como una función de la altura de. Los ejes de coordenadas sería de un metro por encima del suelo. Los cuadrantes serían dos metros sobre el suelo. Si usted está en los ejes, usted no puede ir en todas las direcciones y permanecer en el gráfico sin hacer un salto. Pero, si usted está caminando en la cuadrantes, siempre puedes ir a una pequeña distancia en cualquier dirección y permanecer en el gráfico.

Así, usted sólo tiene que responder a si la unión de todos los cuadrantes está abierto, conectado, o cerrado.

Answer 3

Es todo el plano menos los dos ejes.

Un conjunto es abierto si para cualquier punto en el que, hay un barrio contenida en el conjunto.

Esto es obviamente cierto para el conjunto de $S$. Así que es abierto.

Answer 4

Usted puede responder a la pregunta teniendo en cuenta solamente los 4 tipos de abrir los subconjuntos de a $\mathbb R$ y, a continuación, ver si sus respectivas inversas están abiertas en $\mathbb R^2$. Estos conjuntos deben estar abiertos y contener $1,2$ o ambos. así que usted puede utilizar, por ejemplo, $(3/2,3), (1/2, 5/4)$$(0,3)$, pero es necesario generalizar estos casos a $(a, \infty); 1<a<2 , (b,c) ; 1<b<2 , (d,e); 1<d<e , e>2$ , etc.

EDIT : también se puede trabajar con secuencias y considerar el caso en que un determinado punto de $(x,y)$ es en los ejes o no. A continuación, $f$ es continua en a $(x,y)$ fib* $$(x_n,y_n) \rightarrow (x,y) \implies f(x_n,y_n) \rightarrow f(x,y) $$

• Esto es cierto para todos 1er contables espacios.