Una pregunta acerca de la regresión lineal

Question

Seleccione $n$ números de un conjunto $\{1,2,...,U\}$, $y_i$ es el $i$th número y $x_i$ es el rango de $y_i$ $n$ números. El rango es el fin de un número después de la $n$ los números se ordenan en orden ascendente.

Podemos obtener $n$ puntos de datos $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$, Y una mejor línea de ajuste para estos puntos de datos se puede encontrar por regresión lineal. $r_{xy}$ (coeficiente de correlación) es la bondad de la línea de ajuste, quiero calcular el $E(r_{xy})$ o $E(r_{xy}^2)$ (correlación de la determinación).

Answer 1

Sólo una pista, una probabilidad de enfoque:

Uno puede calcular el $P(x |y) $ : dado el valor de una extraído número $y=1 \ldots u$, la probabilidad de que su rango (entre el $n$ números) es $x=1 \ldots n$.

$\displaystyle P(x |y) = \frac{ {y - 1 \elegir x - 1} {u - y \elegir n-x} }{ {u-1 \elegir n-1} } , \; \; n-u+y \le x \le y $

A partir de esto se puede (formalmente o numéricamente; analíticamente... lo dudo) calcular $E(x|y) = \sum x P(x |y)$

Y entonces podríamos calcular $E(x \; y) = E_y ( y \; E_x ( x | y ) )$

Y $Cov(x y) = E(x \; y) - E(x) E(y) = E(x \; y) - \frac{n+1}{2} \frac{u+1}{2}$