Cuál es la suma de la longitud de todos los lados de un triángulo?

Question

Se le da triángulos con el entero lados y un ángulo fijado en 120 grados. Si la longitud del lado más largo es de 28 y el producto de la restante a los lados es de 240, ¿cuál es la suma de todos los lados del triángulo?

He tratado de resolverlo con la fórmula dada en el siguiente enlace sobre el entero triángulo con 120 enlace

Entero triángulos con un 120° de ángulo puede ser generado por

Answer 1

Desde el lado más largo debe ser opuesto al ángulo más grande en el triángulo, el lado que está a 28 unidades es opuesto al ángulo de medida en grados de 120. Citemos el resto de los lados $a$$b$. Mediante el coseno de la regla, se obtiene: $$28^2=a^2+b^2-2ab\cos(120)$$ $$784=a^2+b^2-2ab\left(\frac{-1}{2}\right)$$ $$784=a^2+b^2+ab$$ Desde $ab=240$ $$a^2+b^2=544$$ Así tenemos el siguiente sistema de ecuaciones a resolver: $$\begin{align*}a^2+b^2&=544 \\ ab&=240\end{align*}$$ La solución para $b$ en la última ecuación $$b=\frac{240}{a}$$ Enchufar en el primero de ellos ofrece: $$a^2+\left(\frac{240}{a}\right)^2=544$$ Multiplicando ambos lados por $a^2$ y dejando $u=a^2$ $$u^2-544u+240^2=0$$ El uso de la ecuación cuadrática $$\begin{align*}u&=\frac{544\pm\sqrt{(-544)^2-4\cdot240^2}}{2} \\ u&=\frac{544\pm256}{2} \\ u&=144 \text{ or }400\end{align*}$$ Pero desde $u=a^2$, $$a^2=144 \text{ or } a^2=400$$ $$a=12 \text{ or } a=20$$ El uso de $b=\dfrac{240}{a}$ obtener $a=12$ $b=20$ o $a=20$$b=12$. En cualquier caso la suma de los lados es de 60.

Edit: lhf señaló una mucho más rápida alternativa:

Cuando llegamos a la siguiente etapa $$784=a^2+b^2+ab$$ En lugar de resolver para $a$ $b$ etc. simplemente añada $ab$ a ambos lados para obtener $$784+ab=a^2+b^2+2ab$$ Desde $a^2+b^2+2ab$ es un cuadrado perfecto y $ab=240$ $$1024=(a+b)^2$$ $$a+b=32$$ Por lo tanto, la suma de todos los lados es $a+b+28=32+28=60$