Si $A$ $B$ $n×n$ matrices, $AB = -BA$ , e $n$ es impar, muestran que cualquiera de las $A$ o $B$ no tiene inversa.

Question

Si $A$ $B$ $n×n$ matrices, $AB = -BA$ , e $n$ es impar, muestran que cualquiera de las $A$ o $B$ no tiene inversa.

No tengo ni idea de cómo hacerlo y cualquier ayuda/orientación, se agradecería!

Gracias de antemano!

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$$det(AB) = det(-BA)$$ $$det(AB)= det(-B)det(A)$$ $$det(AB) = (-1)^ndet(BA)$$ ya que n es impar $$det(AB) = -det(BA)$$ $$det(A)det(B) = -det(B)det(A)$$ $$2det(A)det(B) = 0$$

Por lo tanto, $det(A)=0$ o $det(B)=0$

Answer 1

Tomar determinantes de ambos lados. $$\begin{align}\det(AB) &= \det(-BA)\\&=(-1)^n\det(BA)\\&=-\det(BA)\end{align}$$ but $\det(AB) = \det(A)\det(B)$. So, we have $\det(A) \det(B) = -\det(A) \det(B)$ and hence $\det(A) \det(B) = 0$. Se puede bajar de aquí?

Answer 2

$$det(AB) = det(-BA)$$ $$det(A)det(B) = det(-B)det(A)$$ $$det(A)det(B) = (-1)^ndet(B)det(A)$$ Está hecho a la derecha hasta aquí.

agregar $det(A)det(B)$ en ambos lados,

$\implies$ $$2det(A)det(B)=0$$ ($\debido a$ $$ n es impar)

$\implies$

$\det A=0$ o $\det B=0$.

Answer 3

Voy a asumir que usted está trabajando en un campo de característica cero (como reales, complejos, etc.), pero esto es cierto, más en general, en cualquier anillo que es una propiedad conmutativa de la integral de dominio de carácter no igual a $2$:

$$x = \det(AB) = \det(A)\det(B) = \det(B)\det(A) = \det(BA) = -\det(AB) = -x$$

Los pasos son justificados como: determinante es multiplicativo, escalares viaje, el determinante es multiplicativa (de nuevo), y finalmente el uso de la ecuación de la derivada en tu post.

Por lo tanto $x = -x \implies 2x=0$. Podemos decir $x=0$ mientras el campo (o cualquiera que sea el anillo de las matrices tomar los valores tiene carácter no es igual a $2$. A continuación,$x = \det(AB) = 0$$\det(A)\det(B) = 0$, y debe ser en el caso de que $\det(A) = 0$ o $\det(B) = 0$.

NB que es crucial que estamos trabajando en una estructura algebraica con la característica no es igual a $2$ y sin divisores de cero (integrante de dominio), de modo que podemos razonar $2x = 0$ implica $x = 0$ $ab=0$ implica $a=0$ o $b=0$. Si estuviéramos trabajando en el carácter $2$, $x = -x$ todos los $x$, y en los enteros modulo $6$, por ejemplo, $2x = 0$ sería cierto para $x=3$ de la misma.