Demostrar que los grupos multiplicativos $\mathbb{R} - \{0\}$ y $\mathbb{C} - \{0\}$ no son isomorfos.

Question

Es mi prueba correcta? Me han hecho uso de el hecho de isomorfismo conserva el orden de los elementos, lo que me resultó par de ejercicios de espalda. Yo también estoy interesado en otras formas de probarlo. Es allí una manera más explícita o es suficientemente explícito?

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El problema de Demostrar que la multiplicación de los grupos de $\mathbb{R} - \{0\}$ $\mathbb{C} - \{0\}$ no son isomorfos.

Solución Recordar que isomorfismo conserva el orden de los elementos y, por lo tanto, si existe un isomorfismo de$\phi: \mathbb{C}-\{0\} \mapsto \mathbb{R}-\{0\}$,$x \in \mathbb{C} - \{0\}$, e $\phi(x) \in \mathbb{R} - \{0\}$,$\vert x \vert = \vert \phi(x) \vert$. Ahora tenga en cuenta que el elemento $i \in \mathbb{C} - \{0\}$ orden $4$. Sin embargo, ningún elemento en $\mathbb{R}-\{0\}$ orden $4$. Por lo tanto, no hay isomorfismo puede existir. Por lo tanto, la multiplicación de los grupos de $\mathbb{R} - \{0\}$ $\mathbb{C} - \{0\}$ no son isomorfos.

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Gracias

Answer 1

Otra forma sería. Tomemos $i$ y ver lo que sucede:
un) $f(i^2)=f(-1)=-1$, utilizando las propiedades básicas de un morfismo.
b) por otro lado, tenemos a $f(i)^2=x^2$ que no puede producir -1.

Answer 2

Sí, estás en lo correcto.

Ya que ningún elemento de la multiplicación de reales son finitos de orden, no puede haber tal isomorfismo. De hecho, no hay ninguna homomorphism $\varphi:\mathbb{C}^{\times}\to\mathbb{R}^{\times}$ (donde el $\times$ dice que estamos llevando a cabo cero) que no tiene $i\in\ker\varphi$, como todos los homomorphisms el envío de un elemento a un nonidentity elemento debe conservar al menos algunas divisor del orden de ese elemento. Prueba Simple boceto: $\varphi:G\to G'$, $x\mapsto\varphi\left(x\right)\neq e'$ con $|x|=n$,$\varphi\left(x\right)^{n}=\varphi\left(x^{n}\right)=\varphi\left(e\right)=e'$$1<|\varphi\left(x\right)|\leq n$.

EDIT: me olvidé de -1, por lo que la mayoría de lo que se dijo anteriormente es una basura. Sin embargo, si $i\mapsto -1$ $-i\mapsto 1$ (y viceversa) y por lo que seguirás siempre han trivial núcleo y, por lo tanto, no hay isomorfismo.