Matsumura, CRT, Ejercicio 6.3

Question

Las preguntas de los estados:

Deje $A$ ser un Noetherian anillo y $x\in A$ ser un elemento que no es ni una unidad ni un cero divisor; demostrar $\operatorname{Ass}_A(A/xA)=\operatorname{Ass}_A(A/x^nA)$ por cada $n=1,2,\ldots.$

Mi pregunta es si $A$ tiene que ser Noetherian para que esto funcione.

Answer 1

Usted necesita la noetherian hipótesis sobre el fin de Culo definirse. No noetherian anillos, la noción útil es la de weakly associated primer ideales. Cf. N. Bourbaki, Álgebra Conmutativa, Ch. IV, §1, ejercicio 17.