Regla LIATE / ILATE

Question

En otra pregunta de los usuarios de la mina propusieron la regla LIATE o ILATE para la integración parcial. Sin embargo, me he encontrado con un problema:

$$ e^{-x} \cos (x)$$

Si uso la regla, al final consigo:

$$ d( \cos (x) \cdot - e^{-x}) + e^{-x} \cdot \cos (x) \cdot d$$

Me parece que si uso la regla en esta situación obtendré un bucle infinito. ¿Es esto cierto?

Mi solución a este problema sería hacerlo al revés la segunda vez. Si hago esto, no habré perdido tiempo en el problema pero (probablemente) evitaré el bucle infinito. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Tendrás un bucle infinito si no ves el patrón...

Para mayor referencia, Wikipedia no siempre es tan mala. De hecho, tiene este mismo problema con $e^{x}$ en lugar de $e^{-x}$ : Integración "recursiva" por partes

Answer 2

Haga no Hazlo al revés la segunda vez: eso sólo deshace la primera integración por partes y te deja sin nada útil. Hazlo de la misma manera y resuelve la integral. Así es como funciona con tu ejemplo.

Si empiezas con las sustituciones $u=\cos x$ , $dv=e^{-x}dx$ , se obtiene $du=-\sin x dx$ , $v=-e^{-x}$ y

$$\int e^{-x}\cos x dx=-e^{-x}\cos x-\int e^{-x}\sin xdx\;.$$

Si se repite el procedimiento utilizando la misma regla, es decir, con las sustituciones $u=\sin x$ , $dv=e^{-x}dx$ , se obtiene $du=\cos x dx$ , $v=-e^{-x}$ y

$$\int e^{-x}\cos x dx=-e^{-x}\cos x+e^{-x}\sin x-\int e^{-x}\cos x dx\;.$$

Ahora sólo hay que resolver la integral:

$$2\int e^{-x}\cos x dx=-e^{-x}\cos x+e^{-x}\sin x\;,$$

y

$$\int e^{-x}\cos x dx=\frac12e^{-x}(\sin x-\cos x)+C\;.$$

Si lo haces al revés la segunda vez, con $u=e^{-x}$ y $dv=\sin x dx$ , se obtiene $du=-e^{-x}dx$ , $v=-\cos x$ y

$$\int e^{-x}\cos x dx=-e^{-x}\cos x-\left(-e^{-x}\cos x-\int e^{-x}\cos x\right)=\int e^{-x}\cos x dx\;,$$

lo cual es cierto, pero completamente inútil.

Answer 3

En esta etapa debes hacer algún reordenamiento algebraico para combinar los términos y luego resolver.

Answer 4

$$I= e^{-x}\cos(x)$$ $$I= e^{-x}\int\cos x \;dx-\int\dfrac{d}{dx}e^{-x}\int\cos x\;dx\;dx$$ $$I= e^{-x}\sin x \;dx+\int e^{-x}\sin x\;dx$$ Aquí volvemos a utilizar la integración por partes $$I= e^{-x}\sin x \;dx+e^{-x}\int\sin x\;dx-\int\dfrac{d}{dx}e^{-x}\int\sin x\;dx\;dx$$

$$I= e^{-x}\sin x \;dx-e^{-x}\cos x\;+\int e^{-x}(-\cos x)\;dx$$

$$I= e^{-x}\sin x \;dx-e^{-x}\cos x\;-\int e^{-x} \cos x\;dx$$ $$I= e^{-x}\sin x \;dx-e^{-x}\cos x\;-I$$ $$I= \dfrac {e^{-x}\sin x \;dx-e^{-x}\cos x}{2}+C$$

Answer 5

Utilizando ILATE ( I - función trigo inversa, L - función logarítmica, A - función algebraica, T - función trigono., E - función exponencial) para elegir la primera y la segunda función por lo tanto :

Dejemos que la primera función sea f(x) y la segunda sea g(x), por lo que utilizaremos la fórmula de integración por partes que es $ f(x) . \int g(x) -\int d(f(x)).\int g(x)dx$

Aquí usando ILATE : podemos tomar cosx como f(x) y $e^{-x} = g(x)$

$Let I = \int cosx.e^{-x}dx = cosx.\int e^{-x} -\{\int d(cosx)\int e^{-x}d\}x$ +C

$\Rightarrow I = e^{-x}sinx +\int e^{-x}.sinx dx = e^{-x}sinx -e^{-x}cosx -\int e^{-x}cosx dx$ +C

$\Rightarrow I = e^{-x}sinx +\int e^{-x}.sinx dx = e^{-x}sinx -e^{-x}cosx -I $ +C

$\Rightarrow 2I = e^{-x}sinx +\int e^{-x}.sinx dx = e^{-x}sinx -e^{-x}cosx $ +C

$\Rightarrow I = \frac{1}{2} \{ e^{-x}sinx -e^{-x}cosx \}$ +C