Es $\mathbb R^{\omega}$ homeomórficos a $\mathbb R^{\omega} \times \mathbb R^{\omega}$?

Question

Como un estudio de ejercicio, estoy tratando de encontrar un espacio topológico $X$ que es homeomórficos a $X \times X$. Comencé a pensar en ejemplos sencillos que involucran $\mathbb R$, pero luego se dio cuenta de mi mejor apuesta sería la de infinitas dimensiones, de lo contrario, la mayoría del tiempo yo no podía tener incluso un bijection. Estoy casi seguro de que me he construido un homeomorphism entre el $\mathbb R^{\omega} = \prod_{i\in\mathbb N} \mathbb R$ y el producto cartesiano con sí mismo: $$f:\mathbb R^{\omega} \times \mathbb R^{\omega}\to\mathbb R^{\omega} \atop{\left((a_n)_{n\in\mathbb N},(b_n)_{n\in\mathbb N}\right)\mapsto (c_n)_{n\in\mathbb N}, c_n=\left\{\begin{align} &a_n, \quad n\text{ even} \\ &b_n, \quad n\text{ odd} \end{align}\right.}$$ Aquí podemos ver $f^{-1}((c_n))=((c_{2k}),(c_{2k+1}))$. Aquí las topologías de los involucrados son los de siempre, es decir, el producto de la topología en $\mathbb R^{\omega}$ (tomando en $\mathbb R$ el nivel métrico topología), y el producto de la topología de nuevo por el producto cartesiano con sí mismo. He probado la continuidad y estoy bastante seguro de que todo está bien, pero podría alguien decirme si estoy en lo correcto aquí? Gracias.

Esto pasa a ser la función que fue capaz de construir, pero original de mi intuición es que en una secuencia y dos secuencias de uno al lado del otro son básicamente la misma cosa. También si alguien pasa a conocer de una forma más simple ejemplo de que el problema en mi primera frase, por favor compartir.

P. S. yo debería estar usando un simple topológico argumentos aquí; abiertos y conjuntos cerrados, antiimages, de la talla.

Answer 1

En primer lugar, su fórmula

$$\left((a_n)_{n\in\mathbb N},(b_n)_{n\in\mathbb N}\right)\mapsto (c_n)_{n\in\mathbb N}, c_n=\left\{\begin{align} &a_n, \quad n\text{ even} \\ &b_n, \quad n\text{ odd} \end{align}\right.$$

no es del todo correcto, como es, usted está cayendo términos. Te refieres

$$\left((a_n)_{n\in\mathbb N},(b_n)_{n\in\mathbb N}\right)\mapsto (c_n)_{n\in\mathbb N}, c_n=\left\{\begin{align} &a_{n/2}, \quad n\text{ even} \\ &b_{(n-1)/2}, \quad n\text{ odd} \end{align}\right.$$

a juzgar por su fórmula para $f^{-1}$.

Sí, $f$ es un homeomorphism. A ver que, el uso que una función en un topológica del producto es continua si y sólo si la función compuesta con cualquier proyección desde el producto a uno de los factores es continua.

Usted tiene

$$\pi_{2k}\circ f = \pi_k \circ \pi_a;\qquad \pi_{2k+1}\circ f = \pi_k \circ \pi_b,$$

y las proyecciones $\pi_k$, $\pi_a$, y $\pi_b$ son continuos, por lo tanto $f$ es continua. Por el contrario, usted tiene

$$\pi_k \circ \pi_a \circ f^{-1} = \pi_{2k};\qquad \pi_k \circ \pi_b \circ f^{-1} = \pi_{2k+1},$$

lo que muestra que $f^{-1}$ es también continua.

Answer 2

Podría ser más fácil argumentar el uso de la topología discreta. Del mismo modo, puede utilizar $\Bbb Z_2^\omega$ con el mismo argumento como aquí