Problema
Encontrar $\mathrm{Aut}(G)$, $\mathrm{Inn}(G)$ y $\mathrm{Aut}(G)/\mathrm{Inn}(G)$ $G = D_4$
Mi Intento
Dejo $D_4 = \{e, x, y, y^2, y^3, xy, xy^2, xy^3\}$
Me encontré con que $\mathrm{Inn}(G)$ consta de 4 bijective conjugación funciones, a saber,$\{\phi_e, \phi_x, \phi_y, \phi_{xy}\}$. Para $\mathrm{Aut}(G)$, he encontrado que hay 12 automorfismos.
Aquí está el siguiente enlace que se relaciona con el problema que estoy haciendo.
Basado en la solución:
Lema: Si $\alpha$ es un automorphism de grupo $G$ $G$ ha generadores $x$ $y$ con órdenes de $n$$m$, respectivamente, a continuación, $\alpha(x)$ $\alpha(y)$ son también generadores de $G$ con órdenes de $n$$m$.
Prueba: en Primer lugar, vamos a mostrar que las órdenes de acuerdo. Si $g \in G$ orden $n$, vamos a $a = \alpha(g) \in G$ tienen orden de $m$. A continuación, $a^m = 1$, pero la aplicación de $\alpha^{-1} \in \mathrm{Aut}(G)$, obtenemos $g^m = 1$. Sin embargo, $g$ orden $n$, lo $n$ debe dividir $m$. Del mismo modo, $g^n = 1$ y la aplicación de $\alpha$, observamos que $a^n = 1$, y así llegamos a la conclusión de $n = m$.
En segundo lugar, ya que cualquier elemento de a $G$ se puede escribir como un producto de $x$'s y $y$'s, y $\alpha$ es un surjective homomorphism, se sigue que cualquier elemento de a $G$ también se puede escribir como un producto de $\alpha(x)$$\alpha(y)$, de ahí que se genere $G$.
El uso de este Lexema (o un argumento similar), debemos señalar que un automorphism de $D_4$ debe enviar $y$ $y, xy, x^2y$o $x^3y$ $x$ $x$o $x^3$. Cualquier emparejamiento es posible, por lo tanto no se $2 \cdot 4 = 8$ tal automorfismos...
(Las notaciones que alguien uso son diferentes de lo que denotan.)
La pregunta que tengo es: ¿por Qué hay 8 automorfismos? No debe haber 12 automorfismos? Aquí es lo que tengo:
$$e \mapsto e$$ $$x \mapsto \text{ either } \{x,y^2, xy^2\}$$ $$y \mapsto \text{ either } \{y, y^3, xy, xy^3\}$$
Entonces, hay $1 \cdot 3 \cdot 4 = 12$ automorfismos.
Cualquier consejos o comentarios?
