¿Cómo se transforma en un marco de referencia rotativo relativista?

Question

En la mecánica clásica, la fórmula habitual para traducir la evolución de una cantidad vista desde un inercial marco de referencia a un rotativo marco es: $$\frac{d \textbf{A} }{dt} \vert_{Inertial} = \frac{d \textbf{A} }{dt} \vert_{Rotational} + \boldsymbol{\omega}\times\textbf{A};$$

¿Cómo hacemos que esto sea relativista?

Answer 1

La mejor manera de describir un sistema de referencia giratorio es mediante un simple cambio de coordenadas. Si se tiene una descripción de un fenómeno en algún conjunto de coordenadas inerciales $\{t, x, y, z \}$ entonces se puede obtener una descripción de su movimiento en un marco de referencia giratorio con coordenadas $\{t', x', y', z'\} $ haciendo una sustitución adecuada. Por ejemplo, si $\vec{\omega} = \omega \hat{z}$ entonces tenemos \begin{align} t &= t' \\ x &= x' \cos \omega t' - y' \sin \omega t' \\ y &= x' \sin \omega t' + y' \cos \omega t' \\ z &= z' \end{align}

La diferencia es que ahora la métrica ya no es tan sencilla. Si tomamos las diferenciales de todos los términos anteriores y las sustituimos en la métrica de Minkowski, obtenemos \begin{align} ds^2 &= - dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \\ &= -\left(1 - \omega^2 ({x'}^2 + {y'}^2) \right){dt'}^2 + 2 \omega (- y' dx' dt' + x' dy' dt') + {dx'}^2 + {dy'}^2 + {dz'}^2. \end{align} En particular, esto significa que la trayectoria de un objeto masivo en estas coordenadas puede tener fácilmente $|d\vec{x}/dt| > 1$ es decir, su velocidad de coordenadas será mayor que $c = 1$ . Pero si calculas la cuádruple velocidad $\eta^\mu$ de este objeto, seguirá siendo un vector temporal (o, lo que es lo mismo, $ds^2 < 0$ para los puntos cercanos a lo largo de su línea de mundo).

En cuanto a la ley de transformación vectorial, es un poco más problemática. Uno de los principales problemas de la derivación del resultado que citas es que divide la derivada en el marco inercial en derivadas temporales de las componentes de coordenadas del vector con respecto a un conjunto de vectores base giratorios, y derivadas de los propios vectores base giratorios. Además, suponemos que estos vectores base son constantes con respecto al espacio y al tiempo; en otras palabras, un vector unitario en el $x'$ -en el punto A es el mismo que un vector unitario en el $x'$ -en el punto B. Pero se puede ver que la definición de un conjunto de vectores base va a ser problemática en un marco de referencia giratorio; un vector que apunta en la dirección $t'$ -La dirección cambiará de temporal a espacial al cruzar el límite. $\omega^2 ({x'}^2 + {y'}^2) = 1$ así que no hay forma de convertirlo en un vector constante.

Esto no quiere decir que no podamos hacer dinámica de partículas en un sistema de referencia giratorio, incluso para el movimiento relativista. La mejor manera es adoptar el enfoque lagrangiano, en el que una partícula que se mueve entre dos eventos en el espaciotiempo extremará el tiempo propio a lo largo de su trayectoria: $$ \tau = \int \sqrt{ - ds^2}. $$ En el marco de referencia de rotación, esto se puede escribir como $$ \tau = \int \sqrt{ \left(1 - \omega^2 ({x'}^2 + {y'}^2) \right) + 2 \omega (- y' \dot{x}' + x' \dot{y}') - (\dot{\vec{r}'})^2 } dt' $$ y podemos encontrar un conjunto de ecuaciones de Euler-Lagrange para $\vec{r}'(t')$ que extreman esta integral de la forma habitual. Esta sería la forma más fácil de generalizar la fuerza de Coriolis y la fuerza centrífuga en un contexto relativista.

Answer 2

El mejor comienzo es sacar un libro de física y mirar las distintas expresiones de la ecuación de onda. La más sencilla, y fundamental para la invención de la relatividad especial, es la forma sin coeficientes para las diferenciales. Ahora encuentra la ecuación de onda expresada en términos de coordenadas esféricas. Tenemos los coeficientes correspondientes a la transformación requerida por la transformación de coordenadas. Hay que tener en cuenta que el "observador objetivo" nunca está inmóvil, sino que él mismo se mueve a lo largo de una línea de tiempo. Pero cualquier observador tiene su propio marco de referencia de "tiempo propio" que puede considerar estacionario aunque otros observadores no lo vean así.

Esta es la base de la relatividad general/especial y del análisis tensorial. Primero hay que expresar la cantidad en una forma libre de coordenadas (tensor) y luego evaluarla en algún marco de referencia; normalmente "en reposo". A continuación, se aplican transformaciones de coordenadas para llevar el tensor al marco de referencia deseado. La complicación surge porque normalmente hay que incluir el "tiempo" como una coordenada en pie de igualdad (más o menos) con los componentes espaciales. Tomemos un satélite en órbita giratoria: tiene varios marcos de referencia; con respecto a las coordenadas geoestacionarias, con respecto a su retación inercial interna o con respecto al sol. Pero todos ellos pueden transformarse y calcularse mediante transformaciones de relatividad especial que consisten en variaciones espaciales y variaciones temporales.