Calcular los cuantiles de la suma de las distribuciones de particular cuantiles

Question

Supongamos $N$ independiente de variables aleatorias $X_1, ..., X_N$ para que los cuantiles en algún nivel específico $\alpha$ son conocidos a través de la estimación a partir de datos: $\alpha = P(X_1 < q_1)$, ..., $\alpha = P(X_N < q_N)$. Ahora vamos a definir la variable aleatoria $Z$ como la suma de $Z = \sum_{i=1}^N X_i$. Es allí una manera de calcular el valor del cuantil de la suma en el nivel $\alpha$, $q_z$$\alpha = P(Z < q_Z)$?

Creo que, en casos particulares, tales como si $X_i$ sigue una distribución Gaussiana $\forall i$ esto es fácil, pero yo no estoy tan seguro para el caso de que la distribución de la $X_i$ es desconocido. Alguna idea?

Answer 1

$q_Z$ podría ser cualquier cosa.

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Para entender esta situación, hagamos un preliminar de la simplificación. Trabajando con $Y_i = X_i - q_i$ obtenemos una más uniforme caracterización

$$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$$

Es decir, cada una de las $Y_i$ tiene la misma probabilidad de ser negativo. Porque

$$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$$

la definición de la ecuación de $q_Z$ es equivalente a

$$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$$

con $q_Z = q_W + \sum_i q_i$.

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¿Cuáles son los posibles valores de $q_W$? Considere el caso donde el $Y_i$ todos tienen la misma distribución, con toda probabilidad, en dos valores, uno de ellos negativos ($y_{-}$) y otro positivo ($y_{+}$). Los posibles valores de la suma de $W$ están limitados a$ky_{-} + (n-k)y_{+}$$k=0, 1, \ldots, n$. Cada uno de estos se produce con una probabilidad de

$${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$$

Los extremos se pueden encontrar por

1. La elección de $y_{-}$$y_{+}$, de modo que $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$; $y_{-}=-n$ y $y_{+}=1$ va a lograr esto. Esto garantiza que el $W$ será negativo, excepto cuando todos los $Y_i$ son positivos. Esta probabilidad es igual a $1 - (1-\alpha)^n$. Supera $\alpha$ al $n\gt 1$, lo que implica la $\alpha$ cuantil de $W$ debe ser estrictamente negativo.

2. La elección de $y_{-}$$y_{+}$, de modo que $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$; $y_{-}=-1$ y $y_{+}=n$ va a lograr esto. Esto garantiza que el $W$ va a ser negativo sólo cuando todas las $Y_i$ son negativos. Esta probabilidad es igual a $\alpha^n$. Está a menos de $\alpha$ al $n\gt 1$, lo que implica la $\alpha$ cuantil de $W$ debe ser estrictamente positivo.

Esto muestra que el $\alpha$ cuantil de $W$ podría ser negativo o positivo, pero no es cero. Lo que podría a su tamaño? Se tiene a la igualdad de algunos integral combinación lineal de $y_{-}$$y_{+}$. Haciendo estos dos valores enteros asegura a todos los posibles valores de $W$ integral. A escala $y_{\pm}$ por un número positivo arbitrario $s$, se puede garantizar que todas integral de las combinaciones lineales de $y_{-}$ $y_{+}$ son múltiplos enteros de $s$. Desde $q_W \ne 0$, debe tener al menos $s$ en tamaño. En consecuencia, los posibles valores de $q_W$ (y de donde de $q_Z$) son ilimitados, no importa lo $n\gt 1$ pueden ser iguales.

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La única manera de obtener cualquier información acerca de $q_Z$ sería hacer específico y fuertes restricciones sobre la distribución de las $X_i$, con el fin de prevenir y limitar el tipo de desequilibrio en las distribuciones que se utilizan para derivar este resultado negativo.