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Local $\partial \bar{\partial}$-lema..

Estoy tratando de demostrar que el local $\partial \bar{\partial}$ lema. Este dice que por un polydisc en $\mathbb{C}^{n}$, una forma en la $A^{p,q}(U)$ $d$- cerrado implica que es $\partial \bar{\partial}$-exacto. He intentado utilizar el $\partial$ $\bar{\partial}$ Poincaré lema del vano.. me gustaría una pista de a donde debo empezar, me gustaría ayudarme se lo agradeceria mucho.

EDITAR:

Debido a mi falta de herramientas conceptuales y métodos de enfoque.. supongo que me gustaría probar bajando por esta avenida:

Dado que mi estado de forma (es decir, $\alpha$) $d$- cerrado, es $\partial$-cerrado. Por Poincaré del lexema, no puedo encontrar una forma de $\gamma$ $A^{p-1,q}(U)$ tal que $\partial \gamma = \alpha$. Como una puñalada en la oscuridad, me gustaría tratar de descomponer $\gamma$ $P + \bar{\partial}Q$ $\partial$- forma cerrada $P$. Si puedo lograr esto, a continuación, $\partial \gamma = \partial (P + \bar{\partial}Q) = \partial \bar{\partial}Q$ y la voy a hacer.

¿Cree usted que esto es un tiro largo? Sólo estoy tratando de llegar a mis manos sucias y en realidad, la ampliación y la aplicación de $\partial$ a los términos para ver si puedo fuddle suficiente para surgir en una descomposición..

Este se plantea como un ejercicio de Huybrecht del libro "geometría Compleja". Es el ejercicio 1.3.4/1.3.3

Gracias!

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Anders Eurenius Puntos 2976

En primer lugar, usted necesita para asumir ese $p$ $q$ son positivos; de lo contrario, no hay ninguna que no sea trivial $(p-1,q-1)$-formas. Usted necesitará utilizar, tanto ordinarias de Poincaré lema y el $\partial$ - $\overline\partial$- Poincaré lemas.

En primer lugar, si $\alpha$ $d$- cerrado $(p,q)$ formulario $U$, entonces el ordinario de Poincaré lema implica que $\alpha=d\eta$ para algunos compleja $p+q-1$forma $\eta$. Dado que las únicas partes de $\eta$ que puede contribuir a la $(p,q)$-parte de $d\eta$ $(p,q-1)$ $(p-1,q)$ partes, bien podemos suponer que $\eta$ se descompone como $\eta =\eta^{(p,q-1)}+\eta^{(p-1,q)}$. Utilizando el hecho de que $d=\partial+\overline\partial$, podemos descomponer la ecuación de $d\eta=\alpha$ como sigue: \begin{align*} \partial\eta ^{(p,q-1)}&= 0 &&\text{(%#%#%-part)}\\ \overline\partial\eta^{(p,q-1)} + \partial\eta^{(p-1,q)} &= \alpha&&\text{(%#%#%-part})\\ \overline\partial\eta ^{(p-1,q)}&= 0 &&\text{(%#%#%-part)}. \end{align*} Ahora aplica el $(p+1,q-1)$ - $(p,q)$- Poincaré lemas a la conclusión de que no existe $(p-1,q+1)$formas de $\partial$ $\overline\partial$ tal que $(p-1,q-1)$$\beta$. Usted probablemente puede tomar desde allí.

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