Deje $n \ge 1.$ y deje $f: S^n \to S^n$ ser continua auto-mapa de la unidad $n$-esfera. Si $f$ no tiene puntos fijos, ¿cuál es el grado de $f$ , y por qué?
Gracias de antemano.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como froggie sugerencias, se puede demostrar que los $f$ es homotópica a la antipodal mapa. [¿Cuál es el grado de que? Es una composición de reflexiones.] Comience con la línea recta homotopy tomando cada una de las $f(x)$$-x$. Esto no mentira en la esfera, así que tienes que arreglar eso. Al hacer esto, usted necesitará para mostrar que un cierto vector distinto de cero, y eso es cuando usted va a utilizar su hipótesis. Esto podría ayudar a recordar que $|f(x)| = |x| = 1$$x \in S^n$.
