Sugerencia: $ZFC'$, todavía tiene un $\omega$-modelo.
Aquí está una respuesta más completa.
La declaración de $\Gamma \equiv (ZFC \vdash \phi_1) \lor (ZFC \vdash \phi_2)$ es demostrablemente equivalente en ZFC a la $\Sigma^0_1$ declaración "hay un $n \in \omega$ el cual es un código de prueba de $\phi_1$ o un código de prueba de $\phi_2$". Debido a $ZFC'$ $\omega$- modelo, si ZFC' demuestra $\Gamma$ entonces realmente es una $n$, en cuyo caso $ZFC'$ demuestra "n es un código de prueba de $\phi_1$" o "$n$ es un código de prueba de $\phi_2$" (porque ambas están delimitadas-cuantificador oraciones, son comprobable si son verdaderas). Así que la respuesta es que no se puede construir afirmaciones como se describe en la pregunta.
Para la generalidad, podríamos sustituir $ZFC'$ $\Gamma$ con cualquier suficientemente fuerte teoría de que tiene un $\omega$-modelo, y reemplace $ZFC$ $\Gamma$ con efectivos de la teoría.