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Especial undecidability situación

Supongamos que ZFC es consistente, y dejar que ZFC'=ZFC+Con(ZFC). Se puede construir dos declaraciones de $\phi_1$ $\phi_2$ tal que

$$ ZFC' \vdash ((ZFC \vdash \phi_1) \ \text{o} \ (ZFC \vdash \phi_2)) $$

$$ ZFC' \no\vdash (ZFC \vdash \phi_1), \ \text{y} \ ZFC' \no\vdash (ZFC \vdash \phi_2) $$

4voto

JoshL Puntos 290

Sugerencia: $ZFC'$, todavía tiene un $\omega$-modelo.

Aquí está una respuesta más completa.

La declaración de $\Gamma \equiv (ZFC \vdash \phi_1) \lor (ZFC \vdash \phi_2)$ es demostrablemente equivalente en ZFC a la $\Sigma^0_1$ declaración "hay un $n \in \omega$ el cual es un código de prueba de $\phi_1$ o un código de prueba de $\phi_2$". Debido a $ZFC'$ $\omega$- modelo, si ZFC' demuestra $\Gamma$ entonces realmente es una $n$, en cuyo caso $ZFC'$ demuestra "n es un código de prueba de $\phi_1$" o "$n$ es un código de prueba de $\phi_2$" (porque ambas están delimitadas-cuantificador oraciones, son comprobable si son verdaderas). Así que la respuesta es que no se puede construir afirmaciones como se describe en la pregunta.

Para la generalidad, podríamos sustituir $ZFC'$ $\Gamma$ con cualquier suficientemente fuerte teoría de que tiene un $\omega$-modelo, y reemplace $ZFC$ $\Gamma$ con efectivos de la teoría.

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