Representación como suma de dos cuadrados

Question

Recientemente, me he preguntado qué números naturales pueden escribirse como una suma de cuadrados de dos enteros positivos coprimos de dos maneras diferentes, siendo el orden irrelevante, o con la ayuda de notaciones,

Encontrar todos los números naturales $a,b,c,d,n$ tal que $$n=a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$$ donde gcd $(a.b)$$ = $gcd$ (c,d) $$=1$ y $a\lt c \lt d \lt b$ .

Mi pequeño progreso: La descomposición primaria de $n$ debe parecer $2^{a_1}p_2^{a_2}...p_r^{a_r}$ donde $a_1 \in \{0,1\}$ y el $p_i$ son primos de la forma $4k+1$ .
Prueba: Supongamos que existe un primo $p \equiv 3 \pmod 4$ en la descomposición primaria de $n$ entonces tendríamos $a^2+b^2 \equiv 0 \pmod p$ . Pero entonces tendríamos $a\equiv b \equiv 0 \pmod p$ , contradiciendo a gcd $(a,b)$$ =1 $ (For , if $ a \ no \equiv 0 \pmod p $, then $ (a,p)=1 $ and hence $ |existe c $ such that $ ac \equiv 1 \pmod p $ wherefrom we see that $ (ac)^2+(bc)^2 \Nequiv 0 \Npmod p $ and the contradiction $ 1+(bc)^2 \Nequiv 0 \pmod p$).
Además, si $4|n$ , entonces gcd $(a,b)$$ =1 $ forces us to conclude that both $ a $ and $ b $ are odd but then $ 0 \equiv a^2+b^2 \equiv 2 \pmod 4$. ¡Contradicción!

Answer 1

Damos una respuesta a una generalización del problema, pero sin pruebas. La prueba más sencilla utiliza hechos sobre la factorización de los enteros gaussianos.

Tenga en cuenta que si $n$ es divisible por $4$ o por un primo de la forma $4k+3$ entonces $n$ tiene no representación como una suma de cuadrados relativamente primos. Así que podemos suponer que $n$ es de la forma $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}$ o $n=2p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}$ . donde el $p_i$ son primos distintos todos de la forma $4k+1$ .

Dejemos que $n\gt 2$ . Entonces el número de representaciones esencialmente distintas de $n$ como suma de dos cuadrados relativamente primos es $2^{s-1}$ . En particular, $n$ tiene exactamente $2$ representaciones esencialmente distintas como suma de dos cuadrados relativamente primos si y sólo si $s=2$ .

Answer 2

Tenemos $$65=1^2+8^2=4^2+7^2.$$ He elegido este número porque es un producto de dos números primos diferentes ( $5$ y $13$ ) que son congruentes con $1$ mod $4$ (por lo tanto, cada uno expresable como una suma de dos cuadrados diferentes); en efecto, $65$ es el número más pequeño.

También puede ver que $$85=5\cdot 17=2^2+9^2=6^2+7^2$$ $$221=13\cdot 17=5^2+14^2=10^2+11^2$$ No he pensado en qué otros números podrían expresarse de esta manera, pero estoy bastante seguro de que algunas manipulaciones sencillas con el teorema de los dos cuadrados de Fermat ( Wikipedia ) demostrará que cualquier producto de dos primos diferentes, cada uno congruente con $1$ mod $4$ es expresable de esta manera. (Tengo que ir a clase ahora, así que no puedo hacer esas manipulaciones yo mismo en este momento).