Estabilizadores de máxima ideales a través de una integral de dominio

Question

Supongamos que $R = \mathbb{C}[x_1, \dots, x_n]/I$ es un finitely generado conmutativa $\mathbb{C}$-álgebra que es una integral de dominio, y supongamos que $G \leqslant \text{GL}(n, \mathbb{C})$ es un grupo finito de actuar fielmente en $R$. Es posible que cada ideal maximal de a $R$ tener un trivial estabilizador?

Obviamente, por el Nullstellensatz, cada ideal maximal tiene la forma $( x_1- \alpha_1, \dots, x_n - \alpha_n)/I$ donde $I \subseteq ( x_1- \alpha_1, \dots, x_n - \alpha_n)$. Me siento como que hay un fácil densidad argumento de que me estoy perdiendo, a lo largo de las líneas de la $\alpha_i$ tener que satisfacer una ecuación polinómica.

Yo pensaba originalmente que $S_2$ actuando en forma natural en $\mathbb{C}[x,y]/(x-y)$ dio un contraejemplo, pero aquí $S_2$ está actuando trivialmente! La integral de dominio hipótesis podría incluso no ser necesario, pero pensé que tenía un contraejemplo al $R$ no era un dominio.

Answer 1

Deje $G$ ser un grupo finito de actuar fielmente por regular los mapas en una irreductible complejo algebraico afín variedad $X$. A continuación, algunos cerrado en el punto en $X$ ha trivial estabilizador.

Prueba: Para $g \in G$ más que la identidad, la subvariedad $\{x \in X \mid g.x=x\}$ es una subvariedad (a priori, no necesariamente irreducible) en $X$, por lo que tiene estrictamente dimensión menor que $X$. Un irreductible compleja variedad no puede ser un número finito de la unión de dimensión menor subvariedades. Así que algún punto en $X$ es de fuera de la unión de estos de punto fijo de subvariedades.