Ejemplo para una adecuada subespacio denso?

Question

He estado leyendo algunos libros sobre el análisis funcional, y muchos de ellos siguen hablando de un espacio vectorial, junto con una densa adecuada subespacio de (especialmente en la construcción de contraejemplos). Pero para mí, es difícil imaginar lo que un denso adecuada subespacio vería, Ni estoy convencido de que esa estructura de la que realmente existe en absoluto.

Así que ¿alguien puede ayudar a dar un ejemplo de ello, o bien, dar una prueba de que un subespacio que realmente existe (aunque supongo que la existencia sería bastante probable que sólo se derivan de la construcción)?

Gracias!!

Answer 1

No es posible encontrar un ejemplo en un número finito de dimensiones lineales normativa espacio. Véase e.g planetmath. (Pero este resultado puede encontrarse en muchos lugares).

Tal vez el hecho de que usted tiene que trabajar con infinitas dimensiones de los espacios y subespacios) es lo que lo hace difícil. (Hasta que te acostumbres a trabajar en infinitas dimensiones y adquirir la suficiente intuición para dichos espacios.)

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Tome $X=c_0$, es decir, el espacio de todas las secuencias convergentes a cero con el sup-norma $\|x\|=\sup\{|x_n|; n\in\mathbb N\}$.

Tome $Y=$conjunto de todas las secuencias, que tiene sólo un número finito de valores distintos de cero. (Con secuencias finitas de apoyo.)

Claramente $Y$ es un subespacio de $X$, y no es difícil mostrar que $Y$ es denso en $X$. De hecho, para cualquier $x\in X$ y cualquier $\varepsilon>0$ hay un $N$ tal que $|x_n|<\varepsilon$$n>N$. Ahora, si tomamos $y=(x_1,x_2,\dots,x_N,0,0,\dots)$,$y\in Y$$\|y-x\|=\sup_{n>N}|x_n|<\varepsilon$.

Answer 2

Considere la posibilidad de $C[0,1]$ con el sup norma. A continuación, el Stone-Weierstrass teorema dice que el espacio de polinomios es una densa subalgebra de $C[0,1]$.

De hecho, tenemos los siguientes criterios de inclusión de la densa subalgebras

$$\mathbb{Q}[x]\subseteq\mathbb{R}[x]\subseteq C[0,1]$$

Y por lo $\mathbb{Q}[x]$ es un denso subalgebra de $C[0,1]$, que por cierto muestra que $C[0,1]$ es separable, que no es un a priori evidente.

Answer 3

Explicit (bueno) ejemplos han sido proporcionados por otros usuarios. De hecho, gracias a Zorn lema, para cada una de las infinitas dimensiones normativa espacio de $E$, podemos encontrar un funcional lineal $f\colon E\to \mathbb R$ que no es continua (tome $\{e_i\}_{i\in I}$ una base de Hamel, $\{e_{i_k}\}$ $i_k\in I, k\in\mathbb N$ norma $1$ y definir $f(e_{i_k})=k$ ($0$ para los otros vectores). A continuación, nos muestran que el núcleo de $f$ es denso en $E$.

Deje $\{x_n\}$ una secuencia de elementos de $E$ norma $1$ tal que $f(x_n)\geq n$. Para $y\in E$, podemos escribir $$f(y)=y-\frac{f(y)}{f(x_n)}x_n+\frac{f(y)}{f(x_n)}x_n.$$ Desde $f\left(y-\frac{f(y)}{f(x_n)}x_n\right)=f(y)-f(y)=0$, $y-\frac{f(y)}{f(x_n)}x_n\in \ker f$ y $$\lVert \frac{f(y)}{f(x_n)}x_n\rVert=\frac{|f(y)|}{|f(x_n)|}\leq \frac{|f(y)|}n$$ así que la secuencia $\{y_n=y-\frac{f(y)}{f(x_n)}x_n\}$ es una secuencia de elementos de $\ker f$ que converge a $y$.

Answer 4

El espacio de $Y$ de finitely admite secuencias de un adecuado subespacio de $\ell^p$$1 \leq p \leq \infty$. Para $ 1 \leq p < \infty$, es denso en $\ell^p$ con respecto al $\ell^p$-norma. Para mostrar esto, considere la posibilidad de un arbitrario $x = (\xi_1, \xi_2, \ldots) \in \ell^p$ y considerar la secuencia de $x_n = (\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n, 0, 0, \ldots) \in Y$. Es fácil ver que $\{x_n\}$ converge a $x$ $\ell^{p}$ norma.

Este argumento no sirve para $\ell^\infty$ - considere la secuencia de todos los $u=(1, 1, \ldots) \in \ell^\infty$. Para cualquier $y \in Y, \parallel y-u \parallel_\infty \geq 1.$ por lo Tanto no hay secuencia en la $Y$ puede converger a $u$ en el sup-norma. En efecto, como Martin Sleziak mostró anteriormente, el cierre de $Y$$\ell^\infty$$c_0$.