No tiene, por tanto, vinculación laboral.

Question

Tengo una duda acerca de si un $n\times n$ real de la matriz $A$ existe tal que $e^{e^{A}} - I_n$ es singular?

Creo que tengo que muestran que el 1 es el autovalor de a $e^{e^{A}}$ en el caso de que la respuesta es sí. Pero no estoy encontrando una manera de proceder con esta idea. Necesito ayuda con esto.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Sugerencia: ¿Qué números complejos $\lambda$ solucionar $e^\lambda=1$? Y la siguiente: ¿Qué números complejos $\mu$ solucionar $e^\mu=\lambda$ para uno de los valores de $\lambda$? Se puede organizar para $A$ tener tal $\mu$ entre sus autovalores?

Answer 2

Claramente ninguna de dichas $A$ existe al $n=1$. Para$n=2$$A=\pmatrix{\log(2\pi)&-\pi/2\\ \pi/2&\log(2\pi)}$,$e^{e^A}=I$. Por lo tanto, deseada $A$ existe para cada $n>1$.