Muy monas las Aplicaciones de Último Teorema de Fermat (u otros)

Question

Recordar que un PASO de pregunta de matemáticas que nos guió a través de mostrar el $n^3 + (n-3)^3 = (n+3)^3$ no tiene soluciones en los enteros podría ser sledgehammered con el Último Teorema de Fermat, me preguntaba si hay otras maneras divertidas para aplicar Último Teorema de Fermat.

Otro ejemplo:

Reclamación $ \sqrt[n]{2}$ es irracional para todos los enteros n > 3

Prueba Supongamos por el contrario, que $ \sqrt[n]{2} = \frac{p}{q}$ de los enteros p y q. A continuación,$q^n + q^n = p^n $. Una contradicción (Wiles, 95).

Otros ejemplos? Yo estaría feliz de ver a las aplicaciones de otros grandes teoremas (como el catalán conjetura/Mihăilescu del teorema). Fermat se adapta de forma natural a causa del golfo en el elementariness de la declaración y la dificultad de la prueba.

Answer 1

Este llamado de la aplicación de Fermat gran teorema fue dado a un rumano de la olimpiada. No es adecuado para un propósito, pero no estoy seguro de por qué esto fue aceptado como un concurso de problema.

Probar que si $n$ es impar, $a,b,c$ son no-cero enteros y $$ a^{3n}+b^{3n}+3(abc)^n=c^{3n} $$ a continuación,$P(a,b,c)$.

Donde $P(a,b,c)$ es una declaración acerca de la $a,b,c$ que puede ser deducido de $a=b=-c$.

Prueba: $$ (a^n)^3+(b^n)^3+(-c^n)^3-3(a^n\cdot b^n\cdot (-c^n))=0$$

y luego usamos $$ x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)$$