Demostrar que $f$ tiene un máximo absoluto en $\mathbb{R}$

Question

Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea continua. Supongamos también que $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ mientras que $f(0)=1$ . Demostrar que $f$ tiene un máximo absoluto en $\mathbb{R}$ .

Answer 1

¿Qué ha probado? Desde $f\to 1$ cuando $x\to 0$ y $f\to 0$ cuando $x\to\pm\infty$ no puede encontrar $M,N$ lo suficientemente grande para que $$f<\frac 1 2$$ sobre los rayos $$(-\infty,M),(N,\infty)\text{ ? }$$ Desde $f\sim 1$ en un nbhd de $0$ ¿no se puede considerar entonces un intervalo cerrado y acotado $[N,M]$ y ver qué está pasando?

A grandes rasgos, puesto que $f$ es continua, se mantendrá cercana a cero a lo largo de los rayos $(-\infty,M)$ , $(N,\infty)$ y permanecerá cerca de $1$ en algún intervalo $(-\delta,\delta)$ centrado en el origen. Esto significa que podemos descartar "la mayor parte" de la recta real (las vecindades del infinito) ya que $f$ definitivamente no tendrá el máximo allí, y buscará algún intervalo cerrado y acotado para el máximo.

Algunos ejemplos $$f=\frac{\sin x}{x}$$ y $$f=\frac{1}{1+x^2}$$

Answer 2

Considere la función $g\colon(-\pi/2,\pi/2)\to\mathbb{R}$ definido por

$$g(t) = f(\tan t)$$

La imagen de $g$ es la misma que la imagen de $f$ y $g$ puede ampliarse a una función continua $\tilde{g}\colon[-\pi/2,\pi/2]\to\mathbb{R}$ definiendo $\tilde{g}(-\pi/2)=0=\tilde{g}(pi/2)$ . Se trata de una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado, por lo que tiene un máximo absoluto que no puede ser $0$ porque $\tilde{g}(0)=g(0)=1$ . Así, el máximo es positivo y no se alcanza en los extremos del intervalo; si este máximo se alcanza en $t_0$ , $f$ alcanza un máximo absoluto en $x_0=\tan t_0$ .

Answer 3

En $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ deducir que $f(x)<\frac12$ para todos $x\not\in[-M,M]$ para algunos $M>0$ . ¿Cuál es el máximo de $f$ en $[-M,M]$ ? ¿Es un máximo absoluto? Utilícelo $f(0)=1$ .