La prueba de que existen infinitos números primos congruente con 3 módulo 4

Question

Estoy teniendo difícil probar esto.

Como sugerencia el ejercicio para demostrar, primero, que la si $a\lneqq \pm 1$ satisface $a \equiv 3 (\textrm{mod}\ 4)$, entonces existe $p$ prime, $p \equiv 3 (\textrm{mod}\ 4)$ tales $p|4$. Pero no estoy realmente para qué propósito puede ser usado.

Answer 1

Si hay sólo un número finito de números primos $\equiv 3 \pmod 4$, lleve el producto de ellos y denotar el producto por $a$. Ahora mira a $2a + 1$, y tratar de deducir una contradicción.

Answer 2

Lema. Si $a\equiv 3 \pmod 4$ entonces existe un primer $p$ tal que $p\mid a$$p\equiv 3 \pmod 4$.

Prueba. Claramente, todos los números primos dividiendo $a$ son impares. Supongamos que todos ellos se $\equiv 1 \pmod 4$. A continuación, su producto también se $a\equiv 1\pmod4$, lo cual es una contradicción. $\hspace{3cm}\square$

Existen una infinidad de números primos $p$ tal que $p\equiv 3\pmod 4$.

Supongamos que $p_1,\dots,p_n$ lo haría de todos los números primos. Tome $a=4p_1\cdots p_n+3$. (O puede llevar a $a=4p_1\cdots p_n-1$.) Mostrar que $p_i\nmid a$$i=1,\dots,n$. A continuación, utilice el lema anterior para obtener una contradicción.

Answer 3

El uso de Euclides de la prueba que demuestra que existen infinitos números primos, es decir, encontrar un Euclidiana polinomio puede utilizar para su progresión aritmética $l \mod k$. Desde $l^2\equiv 1 \mod k$ tal Euclidiana polinomio existe - ver http://www.mast.queensu.ca/~murty/murty-thain2.pdf cómo hacerlo (en particular, en la página uno, el caso de $4n+3$ es dado, ver [5]). Para $8n+1$ ver una infinidad de números primos de la forma $8n+1$.